[Risolto] Trave circonferenza e retta

La circonferenza richiesta ha raggio r = 1/5 ed é tangente a x = 0

per cui x^2 + y^2 + ax + by + c = 0

diventa y^2 + by + c = 0 con D = 0

b^2 - 4c = 0 => c = b^2/4

Inoltre r^2 = a^2/4 + b^2/4 - c = (1/5)^2

ovvero a^2/4 = 1/25 =>   a^2 = 4/25 => a = +- 2/5

dobbiamo scegliere il valore negativo a = -2/5 per avere il centro nel primo quadrante.

Seconda parte più tardi.

Aggiornamento :

retta per (0,2) e (2,1/2)

ha m = (1/2-2)/(2-0) = -3/4

e quindi la sua equazione é y = -3/4 x + 2

Ora dobbiamo imporre che

x^2 + y^2 - 2/5 x + by + b^2/4 = 0

sia tangente a questa retta : scriviamo la risolvente e la condizione D = 0

x^2 + (-3/4 x + 2)^2 - 2/5 x + b(-3/4 x + 2) + b^2/4 = 0

x^2 + 9/16 x^2 - 3x + 4 - 2/5 x - 3/4 bx + 2b + b^2/4 = 0

25/16 x^2 - 3/4 bx - 17/5 x + b^2/4 + 2b + 4 = 0

D = 0

(3/4 b + 17/5)^2 - 25/16 (b^2 + 8b + 16) = 0

(3/4 b + 17/5)^2 - [5/4(b + 4)]^2 = 0

3/b + 17/5 - 5/4 b - 5 = 0

-1/2 b = 8/5

b = -16/5

oppure 2b + 42/5 = 0 => b = - 21/5

questa non va bene perché risulterebbe

yC = -b/2 = 21/10 > 2

Quindi l'altezza del foro é -b/2 = 8/5

ed essendo c = b^2/4 = 1/4 * 256/25 = 64/25

l'equazione richiesta é

x^2 + y^2 - 2/5 x - 16/5 y + 64/25 = 0.

a) "in quale punto si trova il centro del foro" a 20 cm dai lati sulla bisettrice interna all'angolo acuto.
Nel riferimento Oxy ortogonale levogiro e monometrico in metri si ha quanto segue.
La retta per A(0, 2) e B(2, 1/2) è
* AB ≡ y = 2 - 3*x/4
L'asse delle ordinate è
* asseY ≡ x = 0
Il generico punto C(u, v) dista |u| da asseY e |3*u + 4*v - 8|/5 da AB.
Le due bisettrici dell'angolo di vertice V(0, 2) sono il luogo dei punti equidistanti dai lati
* |u| = |3*u + 4*v - 8|/5 ≡
≡ |x| = |3*x + 4*y - 8|/5 ≡
≡ (y = 2 + x/2) oppure (y = 2 - 2*x)
e quella interna all'angolo acuto, con pendenza negativa come il lato AB, è
* y = 2 - 2*x
il cui punto a distanza 20 cm = 1/5 m da asseY è C(1/5, 8/5)
che è proprio il risultato atteso.
------------------------------
b) "l'equazione della circonferenza bordo della sezione della trave" ha centro C(1/5, 8/5) e raggio r = 1/5.
* Γ ≡ (x - 1/5)^2 + (y - 8/5)^2 = (1/5)^2 ≡
≡ 25*x^2 - 10*x + 25*y^2 - 80*y + 64 = 0
che è proprio il risultato atteso.