Trasforma l'espressione in funzione soltanto di $\sin \alpha,$ sapendo che $0<\alpha<\frac{\pi}{2}:$
$$
\frac{\tan \alpha+\cos \alpha}{\tan ^{2} \alpha} \cdot \frac{1}{\cos \alpha}-\frac{1}{\tan ^{2} \alpha}
$$
Trasforma l'espressione in funzione soltanto di $\sin \alpha,$ sapendo che $0<\alpha<\frac{\pi}{2}:$
$$
\frac{\tan \alpha+\cos \alpha}{\tan ^{2} \alpha} \cdot \frac{1}{\cos \alpha}-\frac{1}{\tan ^{2} \alpha}
$$
28
punti
Livello 0
[tan(α) + cos(α)]/tan^2(α) = [sin(α)/cos(α) + cos(α)]/[sin^2(α)/cos^2(α)] =
= {[sin(α) + cos^2(α)]/cos(α)}/[sin^2(α)/cos^2(α)] =
= [sin(α) + cos^2(α)]/[sin^2(α)/cos(α)] = {cos(α) * [sin(α) + cos^2(α)]}/sin^2(α)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Moltiplichiamo ora l'espressione precedentemente determinata per 1/cos(α).
{cos(α) * [sin(α) + cos^2(α)]}/sin^2(α) * 1/cos(α) =
= [sin(α) + cos^2(α)]/sin^2(α) = sin(α)/sin^2(α) + cos^2(α)/sin^2(α) =
= 1/sin(α) + cos^2(α)/sin^2(α)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
A questo punto, si sottrae 1/tan^2(α).
1/sin(α) + cos^2(α)/sin^2(α) - 1/tan^2(α) =
= 1/sin(α) + cos^2(α)/sin^2(α) - 1/[sin^2(α)/cos^2(α)] =
= 1/sin(α) + cos^2(α)/sin^2(α) - cos^2(α)/sin^2(α) = 1/sin(α)
527
punti
Livello 2
Per esprimere l'espressione
* ((tan(α) + cos(α))/tan^2(α))*1/cos(α) - 1/tan^2(α)
esclusivamente in sin(α), "sapendo che 0 < α < π/2", pratico alcune sostituzioni.
Con
* c = cos(α)
* s = sin(α)
* s/c = tan(α)
* c^2 + s^2 = 1
scrivo
* ((tan(α) + cos(α))/tan^2(α))*1/cos(α) - 1/tan^2(α) ≡
≡ ((s/c + c)/(s/c)^2)/c - 1/(s/c)^2 =
= 1/s ≡
≡ 1/sin(α)
51942
punti
Genius I