Teroema di Rolle

Definiamo la funzione f(x) come associata all'equazione data. Gli zeri della funzione corrispondono alle soluzioni dell'equazione.

$ f(x) = 6x^3+2x^2+x+4 $

a. Ammette almeno una soluzione

1. Dominio f(x) = ℝ
2. f(x) è continua in ℝ. E' una funzione razionale intera.
3. $ \displaystyle\lim_{x \to -\infty} 6x^3+2x^2+x+4 = -\infty$
4. $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} 6x^3+2x^2+x+4 = +\infty$

Con queste ipotesi, per il teorema dei valori intermedi generalizzato (IVT) possiamo affermare che la funzione ammette almeno uno zero, ovvero l'equazione ammette almeno una soluzione.

b.  La soluzione è unica.

Supponiamo per assurdo che la funzione ammetta due zeri, x₁, x₂ con x₁≠x₂.

Riassumendo

i) f(x₁) = f(x₂) = 0

ii) f(x) è una funzione razionale intera quindi continua in [x₁, x₂]

iii) f(x) è una funzione razionale intera quindi derivabile in (x₁, x₂)

Per il teorema di Rolle esiste un punto c tale che f'(c) = 0. Determiniamolo

$ f'(x) = 18x^2+4x+1$

Ma tale  trinomio ha un discriminante negativo Δ = -56, questo significa che non ammette zeri. Abbiamo trovato l'assurdo, quindi aver supposto che vi sia più di una soluzione conduce a un assurdo. In altre parole la soluzione esiste ed è unica.