[Risolto] Termodinamica e forza

Tutto corretto, compresa l'idea di usare il principio della dinamica. Volendo essere più precisi sulla notazione, da:

$ m a = \frac{P}{v} - kv$

dovresti scrivere, in forma di equazione differenziale:

$ mx^{||} = \frac{P}{x'} - kx'$

(uso la notazione con gli apici invece di quella con i pallini, tipica delle derivate in t, per praticità. Non so perché non riesco a scrivere la derivata seconda col doppio apice, passami questo modo barbaro di scriverla).

Per risolvere l'equazione, usiamo prima il cambio di variabile:

$ y(t) = x'(t)$

in modo da avere:

$ m y' = \frac{P}{y} - k y$

che è un'equazione differenziale di Bernoulli, da riscrivere per comodità come:

$ y' = \frac{P}{my} -\frac{k}{m} y $

Procediamo con il metodo classico di risoluzione: moltiplichiamo tutto per $y$:

$ y\cdot y' = \frac{P}{m} - \frac{k}{m} y^2$

e sostituiamo: $z(t) = y^2$ da cui $z'(t) = 2y(t)y'(y)$:

$ \frac{z'}{2} = \frac{P}{m} - \frac{k}{m} z$

$ z' + \frac{2k}{m} z= \frac{2P}{m}$

Abbiamo ottenuto un'equazione lineare non omogenea del primo ordine che possiamo risolvere:

$A(t) = \int \frac{2k}{m} dt = \frac{2kt}{m}$

$B(t)= \int \frac{2P}{m} e^{\frac{2kt}{m}} dt = \frac{2P}{2k} \int \frac{2k}{m} e^{\frac{2kt}{m}} dt = \frac{P}{k}e^{\frac{2kt}{m}}$

da cui:

 $ z(t) = e^{-\frac{2kt}{m}}[c+\frac{P}{k}e^{\frac{2kt}{m}}]$

$ z(t) = ce^{-\frac{2kt}{m}} + \frac{P}{k}$ 

torniamo alla variabile precedente:

$ y^2 = ce^{-\frac{2kt}{m}} + \frac{P}{k}$

$ y(t) = \pm \sqrt{ce^{-\frac{2kt}{m}} + \frac{P}{k}}$

Dunque ritornando in x:

$ x'(t) = v(t) = \pm \sqrt{ce^{-\frac{2kt}{m}} + \frac{P}{k}}$

Notiamo prima di tutto che possiamo considerare la soluzione positiva, scegliendo il verso di percorrenza.

$v(t) = \sqrt{ce^{-\frac{2kt}{m}} + \frac{P}{k}}$

La costante va scelta facendo in modo che per $t=0$ abbiamo la velocità iniziale $v(0) = v_0$, quindi:

$ v_0 = \sqrt{ce^0 + \frac{P}{k}}$

$ c = v_0^2 - \frac{P}{k}$ 

da cui

$v(t) = \sqrt{(v_0^2 - \frac{P}{k})e^{-\frac{2kt}{m}} + \frac{P}{k}}$

Per trovare la velocità limite, facciamo tendere $t \rightarrow +\infty$: l'esponenziale tenderà a zero e dunque ci rimane:

$ v_{lim} = \sqrt{\frac{P}{k}}$

Noemi