[Risolto] Teoremi di Euclide

Gli angoli in O ed in P sono, rispettivamente, gli angoli al centro ed alla circonferenza dello stesso arco di cerchio AB ; poiché l'angolo in O è 180°, l'angolo in P, metà dell'angolo in O, deve valere 90°, il che fa di ABP un triangolo rettangolo in P.

Alla stessa stregua, anche AHP è rettangolo in H (PH _l_ ad AB per costruzione) e simile al triangolo ABP  per avere :

# entrambi un angolo retto (l'uno in H, l'altro in P)

# l'angolo in A in comune e, di conseguenza , uguale anche il terzo angolo (APH = HBP)

Similmente anche i triangoli ABP e BHP sono tra loro simili per avere :  

# entrambi un angolo retto (l'uno in H, l'altro in P)

# l'angolo in B in comune e, di conseguenza , uguale anche il terzo angolo (HAP = HPB)

Se il triangolo AHP è simile al triangolo ABP ed ABP è simile al triangolo BHP, allora anche AHP e BHP sono simili tra loro , il che rende uguale il rapporto tra i cateti dell'uno ed i cateti dell'altro, vale a dire  :

AH/HP = HP/BH 

..da cui :

HP^2 = AH*BH  (ciò che scoprì Euclide più di due millenni fa) 

Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo. Il diametro della circonferenza è l'ipotenusa del triangolo. Il segmento di perpendicolare condotto è quindi l'altezza, i due segmenti in cui il diametro resta diviso le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa

Chiedere ad @Euclide per la dimostrazione.

https://it.m.wikipedia.org/wiki/Secondo_teorema_di_Euclide

L'altezza relativa all'ipotenusa divide il triangolo rettangolo inscritto nella semicirconferenza in due triangoli rettangoli simili.

Possiamo quindi scrivere la proporzione, tesi del nostro problema