Considera il grafico della funzione
$$
f(x)=x^3-4 x+a, \quad \text { con } a \in \mathbb{R},
$$
passante per il punto $A(1 ; 3)$. Dimostra, mediante il teorema di Lagrange, che esiste almeno una retta tangente al grafico in un punto $D$ di ascissa interna all'intervallo $[-2 ; 1]$, parallela alla congiungente i punti $A$ e $B$ della curva, con $B$ di ascissa -2 . Determina l'area del triangolo $B A D$.
$$
[a=6 ; y=-x+8 ; 6]
$$
Avrei bisogno di aiuto
287
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Livello 1
y = x^3 - 4·x + a
passa per [1, 3]
3 = 1^3 - 4·1 + a----> a = 6
y = x^3 - 4·x + 6
continua assieme alla sua derivata nell'intervallo chiuso -2 ≤ x ≤ 1 per cui sono valide le ipotesi del teorema di Lagrange
In tali estremi la funzione assume i valori:
y = (-2)^3 - 4·(-2) + 6----> y = 6
y = 1^3 - 4·1 + 6-----> y = 3
quindi punti sul grafico di coordinate:
[1, 3] e [-2, 6]
Il segmento che li unisce ha coefficiente angolare pari a:
m=(6 - 3)/(-2 - 1)----> m = -1
La funzione ha derivata: y ' = 3·x^2 - 4
calcoliamo quindi il punto interno D per cui si ha retta tangente pari al coefficiente angolare del segmento:
3·x^2 - 4 = -1-----> x = -1 ∨ x = 1
Quindi escludiamo il secondo e come punto interno consideriamo quello di ascissa in grassetto
L'ordinata di tale punto è:
y = (-1)^3 - 4·(-1) + 6----> y = 9
[-1, 9]
La retta tangente alla cubica in tale punto è:
y - 9 = - 1·(x + 1) ( con m = 1)----> y = 8 - x
[-2,6]
[1,3]
[-1,9]
[-2,6]
A=1/2·ABS(((-2)·3 + 1·9 + (-1)·6) - ((-2)·9 + (-1)·3 + 1·6)) = 6
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Genius III
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Livello 4
Ce l'avrei avuto anch'io bisogno di aiuto, se la quart'età e le sue patologie non m'avessero costretto a sviluppare una profonda pazienza che alla terza lettura m'ha fatto capire che cosa serve per ottenere i risultati attesi dell'esercizio 291, dopo averne un po' raddrizzato il testo: anzitutto non credergli, e poi fare qualche calcolo banaluccio.
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Dato il fascio, nel parametro reale 'a', di cubiche parallele
* Γ(a) ≡ f(x) = y = x^3 - 4*x + a
si ordina di considerare il grafico di quella per A(1, 3), che si determina imponendo il vincolo d'appartenenza di A a Γ(a)
* 3 = 1^3 - 4*1 + a
da cui
* a = 6
* Γ(6) ≡ f(x) = y = x^3 - 4*x + 6 = (x^2 - 4)*x + 6
di pendenza
* m(x) = f'(x) = 3*x^2 - 4
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Di tale grafico interessa il punto B, di ascissa - 2, cioè B(- 2, 6) perché, nella parte a cui non credere, il 291 chiede di applicare il Teorema di Lagrange del valor medio sull'intervallo (A, B) per dimostrare l'esistenza di un punto intermedio D ove la retta tangente Γ sia parallela a quella congiungente A e B.
Si può soddisfare alla consegna in modo banale perché:
1) f(x) è razionale intera, quindi continua e derivabile ovunque;
2) ((f(1) - f(- 2))/(1 + 2) = - 1 = 3*x^2 - 4) & (- 2 < x < 1) ≡
≡ (x = ± 1) & (- 2 < x < 1) ≡ x = - 1.
E a mio parere è da non credere in quanto irrilevante rispetto alla successiva consegna che non s'accontenta della sola dimostrazione, ma vuole proprio il punto D(- 1, 9) e al risultato atteso che vuole proprio la tangente
* t ≡ y = 9 - (x + 1)
e allora sarebbe stato più rispettoso dell'intelligenza del risolutore prescrivere direttamente di determinare tangente e punto di tangenza invece della banale dimostrazione.
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Infine, l'area S del triangolo di vertici
* B(- 2, 6), A(1, 3), D(- 1, 9)
calcolata col metodo riportato in fondo risulta
* S(BAD) = 6
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Vedi
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-6%3Dx%5E3-4*x%2C%28x%2B2%29*%28x-1%29*%288-x-y%29*%284-x-y%29%3D0%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By-6%3Dx%5E3-4*x%2C%28x%2B2%29*%28x-1%29*%288-x-y%29*%284-x-y%29%3D0%2C%283*%282-x%29-y%29*%283*%28x--4%29-y%29%3D0%5Dx%3D-3to2%2Cy%3D2to11
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