Teoremi del calcolo differenziale

E' un chiaro suggerimento ad affrontarlo con Rolle.

i) Continua per x = 0

$ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = c - 4 $

$ f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\frac{2}{3} $

per essere continua 

$ c - 4 = -\frac{2}{3}  \; \implies \; c = \frac{10}{3}$

ii) Derivabile per x = 0

$ f'(x) = \begin{cases} 2x+b \quad \text{se x < 0} \\ \frac{3a+2}{(x+3)^2} \quad \text{se x ≥ 0} \end{cases} $

le due derivate laterali sono pari a 

$ D^-f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^-} 2x+b = b$
$ D^+f(0) = \displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{3a+2}{(x+3)^2}  = \frac{3a+2}{9} $

per essere derivabile in x = 0 deve essere

$ 9b = 3a+2  \; \implies \; 3a-9b+2 = 0$

iii) f(-1) = f(2)  

$ 1-b-4+\frac{10}{3} = \frac{2a-2}{5}$

$ 2a+5b+13-\frac{50}{3} = 0 $

Poniamo a sistema queste ultime due equazioni

$ \begin{cases} 3a-9b+2 = 0 \\ 2a+5b+13-\frac{50}{3} = 0 \end{cases} $

La cui soluzione è   $a = \frac{23}{33}   \;  ∧  \;  b =  \frac{5}{11} $