Teoremi del calcolo differeniale

y=

{k·e^(x - 1)   per x < 1

{k·(x^2 - x) + k    per x ≥ 1

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y' =

{k·e^(x - 1)  per x < 1

{k·(2·x - 1)    per x ≥ 1

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Le due componenti sono continue in tutto R sia per la funzione che per la sua derivata.

Risultando:

f(1)=k·(1^2 - 1) + k =k

LIM(k·e^(x - 1)) = k

x---> 1-

e poi:

f'(1)=k·(2·1 - 1) = k

LIM(k·e^(x - 1)) = k

x----> 1-

La continuità per la funzione che per la sua derivata è assicurata in ogni punto di R.

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La retta tangente in x=1 deve avere coefficiente angolare pari a m = -1

m = k·(2·1 - 1) = -1----> k = -1

y=

{- e^(x - 1)    per x < 1

{- x^2 + x - 1    per x ≥ 1

[1, -1] è il punto di raccordo

Retta tangente:

y + 1 = - 1·(x - 1)-----> y = -x

Th Lagrange

1 ≤ x ≤ 4

f(4)= - 4^2 + 4 - 1= -13

[4, -13]

f(1)=- 1^2 + 1 - 1 = -1

[1, -1]

Δy/Δx = (-13 + 1)/(4 - 1) = -4

y'=1 - 2·x

1 - 2·x = -4---> x = 5/2

0 ≤ x ≤ 2

f(0) =  - e^(0 - 1)= - e^(-1)

f(2)= - 2^2 + 2 - 1 = -3

Δy/Δx = (-3 + e^(-1))/(2 - 0) = e^(-1)·(1 - 3·e)/2

1 - 2·x = e^(-1)·(1 - 3·e)/2

x = e^(-1)·(5·e - 1)/4