Teorema di Rolle con parametro

$ f(x) = \begin{cases} -x^3+3x+1 \quad \text{se x < 0} \\ ax^2+bx+1 \quad \text{se x ≥ 0} \end{cases} $

1. I due tratti sono funzioni razionali intere quindi continue in ℝ, dobbiamo verificare che lo siano anche nel punto di raccordo x = 0

• $ \displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 $
• $ \displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 $

La funzione f(x) è quindi continua in ℝ e a maggior ragione lo sarà in [-2, 4]

$ f'(x) = \begin{cases} -3x^2+3 \quad \text{se x < 0} \\ 2ax+b \quad \text{se x ≥ 0} \end{cases} $

2. I due tratti sono funzioni razionali intere quindi derivabili in ℝ, dobbiamo verificare che lo siano anche nel punto di raccordo x = 0. Calcoliamo le due derivate laterali, dopo aver osservato che i due tratti sono funzioni continue.

$ D^- f(0) = 3 $
$ D^+ f(0) = b $

Le due derivate laterali devono essere eguali quindi b = 3

3. Imponiamo che i valori assunti in frontiera siano eguali

• f(-2) = 8-6+1 = 3
• f(4) = 16a+12+1 
  Imponiamo l'uguaglianza

$ 16a = -10  \; ⇒ \; a = -\frac{5}{8} $

Con tali valori di a e b verifichiamo i punti dove la derivata è nulla.

• $ -3c^2+3 = 0 \; ⇒ \;  c_1 = - 1 ∧ c = 1$ quest'ultima da scartare essendo > 0
• $ -\frac{5}{4}c+3 = 0 \; ⇒ \; c_2 = \frac{12}{5} $