Teorema di Rolle

Problema:

Verifica che i punti che soddisfano la tesi del teorema di Rolle per la funzione $y=\sin kx$ nell'intervallo $[0,π]$ sono $k$.

Soluzione:

Il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua in $[a,b]$, derivabile in $(a,b)$ e tale che $f(a)=f(b)$, allora esiste un punto $p$ tale che $f'(p)=0$. 

Si verifica che $y$ soddisfa le ipotesi. 

$y$ è continua in $[0,π]$ dato che è una deformazione della funzione seno e per ciò è anche derivabile in $(0,π)$. 

Inoltre, $y(0)=\sin 0k = 0$ e $y(π)=\sin kπ=0$, quindi vale anche $y(0)=y(π)$. È dunque possibile utilizzare il teorema di Rolle per questa funzione.

$y'(x)=k \cos kx $

$y'(p)=k \cos kp =0$

Si risolve quindi l'equazione.

$\cos kp =0 \iff kp=\frac{π}{2}+\mathbb{Z}π$

Ciò implica che

\[
k\,p = \frac{\pi}{2} + n\pi = \frac{(2n+1)\pi}{2}
\quad\Longrightarrow\quad
p = \frac{(2n+1)\pi}{2k}\,.
\]
Si pone \(p\in(0,\pi)\):
\[
0<\frac{(2n+1)\pi}{2k}<\pi
\quad\Longleftrightarrow\quad
0 < 2n+1 < 2k
\quad\Longleftrightarrow\quad
n = 0,1,2,\dots,k-1.
\]
Per ciascun \(n=0,1,\dots,k-1\) si ottiene un punto
\[
p_n = \frac{(2n+1)\,\pi}{2k}\,,
\]
Quindi in totale vi sono \(k\) punti in \((0,\pi)\).