Teorema di Rolle.

$ f(x) = \begin{cases} asinx+bcosx +1 & -\pi \le x \lt 0 \\ sin(2x+c & 0\le x \le \frac{3\pi}{4} \end{cases} $    in [-π, 3π/4]

Imponiamo le ipotesi del teorema di Rolle

a.   Continuità in [-π, 3π/4]

I due tratti sono funzioni continue. Rimane da verificare che f(x) lo sia nel punto di raccordo x = 0.

• $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = b + 1 $
• f(0) = c

La funzione sarà continua se  c = b+1

b.  Derivabilità in [-π, 3π/4]

Calcoliamo la derivata prima delle funzioni a tratti 

$ f(x) = \begin{cases} acosx-bsinx & -\pi \le x \lt 0 \\ 2cos(2x) & 0\le x \le \frac{3\pi}{4} \end{cases} $ 

I due tratti sono derivabili, rimane da verificare che lo sia anche nel punto di raccordo. Vista la continuità nel punto x = 0 è sufficiente che le due derivate laterali siano eguali

• $D^-f(0) = 2
• $D^+f(0) = a

da cui  a = 2  

C'è una discrepanza con il risultato riportato dal testo.

Ho fatto il grafico con i risultati del testo e la funzione risulta singolare per x = 0. Non è possibile, quindi applicare Rolle.