Teorema di Rolle

$ f(x) = \begin{cases} ax^2+2x+1 & -1 \le x \lt 0 \\ bx+c & 0\le x \le 1 \end{cases} $    in [-1, 1]

Imponiamo le ipotesi del teorema di Rolle

a.   Continuità in [-1, 1]

I due tratti sono funzioni razionali intere quindi continue. Rimane da verificare che f(x) lo sia nel punto di raccordo x = 0.

• $\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 $
• f(0) = c

La funzione sarà continua se c = 1

b.  Derivabilità in (-1, 1)

Calcoliamo la derivata prima delle funzioni a tratti 

$ f(x) = \begin{cases} 2ax+2 & -1 \le x \lt 0 \\ b & 0\le x \le 1 \end{cases} $ 

I due tratti sono derivabili, rimane da verificare che lo sia anche nel punto di raccordo. Vista la continuità nel punto x = 0 è sufficiente che le due derivate laterali siano eguali

• $D^-f(0) = 2
• $D^+f(0) = b

da cui  b= 2

c.  Uguaglianza dei valori della funzione alla frontiera

$ f(-1) = f(1) $

$ a-2+1 = b+c = 2 + 1 $

$ a = 4 $ 

La funzione cercata si esprime come

$ f(x) = \begin{cases} 4x^2+2x+1 & -1 \le x \lt 0 \\ 2x+1 & 0\le x \le 1 \end{cases} $    in [-1, 1]

d.   Determiniamo il valore in (-1, 1) dove la derivata è nulla (teorema di Rolle)

Partiamo dal primo tratto

$f'(x) = 8x+2$

Imponiamo sia nulla

$f'(x) = 8x+2 = 0 \; ⇒ \; x = -\frac{1}{4}$