Teorema di Lagrange.

Question

[attach]110706[/attach] Det. a e b con le ipotesi del teorema di Lagrange e in corrispondenza di a e b, calcola i punti di cui il teorema garantisce l'esistenza. Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.

cmc · Accepted Answer

$ f(x) =  begin {cases} 2sinx & 0  le x  le  pi  ax+b &  pi  lt x  le 2 pi  end {cases} $   a. Continuità La funzione f(x) è continua nei due tratti occorre verificare che lo sia anche nel punto di raccordo f(π) = 0  displaystyle  lim _{x  to ( pi )^+} ax+b = a pi +b $ per essere continua è necessario che sia $ b = -a .  pi $   b. Derivabilità La funzione f(x) è derivabile nei due tratti occorre verificare che lo sia anche nel punto di raccordo, ovvero che le derivate laterali siano eguali $ f'(x) = 2cosx ; ⇒ ; D^- f( pi ) = -2 $  displaystyle  lim _{x  to 0^+} a ; ⇒ ; D^+ f( pi ) = a $ per essere derivabile è necessario che sia a = -2 ne consegue che b = -(-2)  pi = 2 pi   c. Calcoliamo i valori assunti in frontiera f(0) = 0 f(2π) = -4π+2π = -2π   d. Applichiamo Lagrange $  frac {f(2 pi ) - f(0)}{2 pi } = f'(c)$ $  frac {-2 pi }{2 pi } = f'(c)$ $ -1 = 2cos(c) $ $ cos(c) = - frac {1}{2} $   $ c =  frac {2 pi }{3} $

Teorema di Lagrange.

Domande