Teorema di de l'Hopital

Question

[attach]120810[/attach] Spiegare gentilmente i passaggi e argomentare.

cmc · Accepted Answer

$  displaystyle  lim _{x  to 0^+} (x^2)^x =;$ forma indeterminate del tipo 0º Applichiamo l'identità logaritmica $ =  displaystyle  lim _{x  to 0^+} e^{x,ln(x^2)} =;$ forma indeterminate del tipo 0*∞ La funzione esponenziale è una funzione continua quindi $ = e^{ displaystyle  lim _{x  to 0^+} x, ln(x^2)} = $ (*)   Studiamo a parte il limite dell'esponente $  displaystyle  lim _{x  to 0^+} x,ln(x^2) =$ forma indeterminate del tipo 0*∞ Riscriviamola in modo da essere accettata come ipotesi per de l'Hôpital $=  displaystyle  lim _{x  to 0^+}  frac {ln(x^2)}{ frac {1}{x}};$ forma indeterminate del tipo ∞/∞ Applichiamo de l'Hôpital $  displaystyle  lim _{x  to 0^+} - frac {2}{x(- frac {1}{x^2})} =  displaystyle  lim _{x  to 0^+} -2x = 0 $ Il limite dell'esponente vale 0, per cui, il limite dato vale eº = 1

Teorema di de l'Hopital

Domande