teorema del coseno

Anche se non è dato nel testo, suppongo che $\beta$ sia l'angolo compreso tra $a$ e $c$, allora vale la relazione -secondo il teorema del coseno -

$b^2=a^2+c^2-2ac \cos \beta$, allora $\cos \beta = -\frac{b^2-a^2-c^2}{2ac} =- \frac{160-144-64}{2 \cdot 8 \cdot 12} =  \frac{48}{2 \cdot 8 \cdot 12}= \frac{1}{4}$.

Ricordiamo che $\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$, tuttavia, per l'identità fondamentale della trigonometria $\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1 \implies \sin \beta = \sqrt{1- \cos^2 \beta} = \sqrt{1-\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$, in definitiva 

$\tan \beta = \frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{1}{4}}= \sqrt{15}$.

224)

$\small a= 12;$

$\small b= 4\sqrt{10};$

$\small c= 8;$

applica la seguente formula del coseno per l'angolo $\small beta:$

$\small \cos(\beta)= \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$\small \cos(\beta)= \dfrac{12^2+8^2-(4\sqrt{10})^2}{2·12·8}$

$\small \cos(\beta)= \dfrac{144+64-16·10}{192}$

$\small \cos(\beta)= \dfrac{208-160}{192}$

$\small cos(\beta)= \dfrac{48}{192} = \dfrac{1}{4} \quad(= 0,25)$

angolo $\small \beta= \cos^{-1}(0,25) = 75,52248781°;$

tangente di $\small \beta :$ $\small \tan(\beta)= \tan(75,52248781°) = 3,872983345 \quad(= \sqrt{15}).$

b^2 = a^2+c^2-2ac*cos β 

cos β = (144+64-160)/(2*12*8) = 48/192 = 1/4

sin β = √1-cos^2β = √15/16 = √15 /4

tan β = sin β/cos β = √15 /4 / 1/4 = 4√15 /4 = √15 

a^2 = 56 = b^2+c^2-2*b*c*cos α

cos α = (10^2+6^2-56)/(2*10*6) = 80/120 = 2/3 

cos β = 1/3

b = √a^2*c^2-2*a*c*1/3

b = √5^2+9^2-2*5*9*1/3 = √106-30 = √76 = 2√19

α = arctan 3/4 =

cos α = 4/5 

a = √b^2+c^2-2*b*c*cos α
a = √20^2+6^2-2*6*20 *4/5 = √436-16*12 = √244 = 2√61 

BC = √12^2+28^2-2*12*28*1/2 = √592 = 4√37 

AB = √6^2+10^2-2*6*10*cos 80° = √136-120*0,1736 = 10,73

10^2 = 6^2+115,17-2*6*10,73*cos α

cos α = (36+115,17-100)/(2*6*10,73) = 0,3974

angolo α = arccos 0,3974 = 66,58°

Salve a tutti

vorrei chiedere per l'esercizio 224 come faccio a trovare tan di β visto che non con la formula del coseno posso trovare solo coseno di beta

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???

tanβ = tan(arccosβ) 

cosβ = 1/4    ---> tanβ = tan(arccos1/4) = sqrt(15)

N.B.

... mentre il coseno ha periodo 2pi la tangente ha periodo pi ;quindi bisogna conoscere anche il segno del coseno nel caso lo si suppone positivo ...