Tavole di verità

Per il regolamento SOS Matematica è doveroso richiedere un quesito per volta.

Problema:

Si scriva una formula equivalente alla negazione di $\forall x \exists y ( (y>x) \implies (x^2+3\neq y^4))$ che non contenga negazioni logiche. 

Soluzione: (insicura dato che non ho mai studiato logica formalmente (e non lo farò dato che non è prevista per il mio corso di laurea in matematica), quindi ho applicato ciò che ho visto in alcune dimostrazioni)

Si utilizza l'operatore di negazione $\neg$. È noto che la negazione di un $\forall$ è $\exists$ e la negazione di $\exists$ è $\forall$.

Quindi

$\neg [\forall x \exists y ( (y>x) \implies (x^2+3\neq y^4))]$

Diventa
$\exists x \forall y \neg [ (y>x) \implies (x^2+3\neq y^4) ]$

Inoltre, la negazione di $P \implies Q$ è equivalente a $P \land \neg Q$.

Quindi
$\neg [ (y>x) \implies (x^2+3\neq y^4) ] \equiv (y > x) \land \neg (x^2 + 3 \neq y^4)$

L'espressione $\neg (x^2 + 3 \neq y^4)$ significa "non è vero che $x^2+3$ è diverso da $y^4$", il che equivale a dire che sono uguali:
$\neg (x^2 + 3 \neq y^4) \equiv (x^2 + 3 = y^4)$

Mettendo tutto insieme, si ottiene la formula finale:

$\exists x \forall y ( (y > x) \land (x^2 + 3 = y^4) )$