[Risolto] Sviluppo in serie di Fourier

La funzione è pari per cui bn = 0 per ogni n

 

ao = 2/T  S_[0,1] f(t) dt = 2/1 * [ S_[0,1/4] dt + S_[3/4,1] dt ] = 2*(1/4 + 1/4) = 1

ao/2 = 1

 

n w t = n 2pi/T t = 2 pi n t

 

an = 1/T [ S_[0,1/4] cos ( 2pi n t ) dt + S_[3/4,1] cos (2pi n t ) dt ] =

=  [ sin (2 pi n t ) ]_[0,1/4] * 1/(2pi n ) + [ sin (2 pi n t ) ]_[3/4, 1] * 1/(2pi n) =

= 1/(2pi n) * [ sin (pi/2 * n) + sin ( 2 pi n ) - sin (3/2 pi n ) ] =

= 1/(2pi n) * [ sin ( n pi/2 ) - sin ( npi + n pi/2 ) ] =

= 1/(2 pi n) * [ sin ( n pi/2 ) - sin ( n pi ) cos (n pi/2) - cos (n pi ) sin (n pi/2 ) ] =

= 1/(2pi n) * sin ( n pi/2 ) [ 1 - cos (n pi ) ] =

= 1/(2pi n ) sin (n pi/2 ) * 2 sin^2 (n pi/2) ] =

= 1/(pi n) * sin^3 (n pi/2) =

= 1/(pi n) * sin ( n pi/2 )

 

perchè per valori interi di n il seno assume solo valori (-1 e 1) uguali al loro cubo, oppure 0

se n è pari

 

E' chiaro allora che an è diverso da 0 solo per n dispari e vale alternativamente 1 e -1

 

Allora  a(2k - 1) = (-1)^(k+1) /(pi * (2k-1))   con k in N

 

f(t) = 1/2 + S_k:1->oo   (-1)^(k+1) /(pi * (2k-1)) * cos [ 2 pi *(2k - 1) t ]

 

Spero che non ci siano errori di calcolo.