[Risolto] studio di una funzione semplice

A volte si unisce lo studio del segno con la ricerca degli zeri e quindi si pone:

$f(x)\geq 0$

Quando si è alle prime armi conviene separare i due momenti.

Studio del segno

$f(x)>0$

Trattandosi, in questo caso, di una funzione razionale fratta vai a studiare segno del numeratore (N>0) e  segno del denominatore (D>0)

$\begin{cases}2x>0 \\x^2-9> 0\end{cases}$

che diventa

$\begin{cases}x>0 \\x<-3 \vee x>3 \end{cases}$

Riportando nel classico quadro dei segni, e tenendo presente anche il suo dominio (in questo caso f(x) non è definita in +3 e -3), abbiamo:

In questo scopriamo dove la funzione è positiva ( il suo grafico si trova nel I o II quadrante) e dove è negativa ( il suo grafico si trova nel II o IV quadrante)

Avremo allora:

$y>0$ in $(-3;0)\cup (3;+\infty)$

$y<0$ in $(-\infty;-3)\cup (0;3)$

la tua domanda è mal posta. Studiare il segno di una funzione significa capire per quali intervalli della variabile indipendente $x$ la funzione è positiva, per quali intervalli è negativa e per quali è nulla.

Quindi puoi imporre $f(x)>0$ oppure $f(x)<0$ oppure $f(x) \geq 0$ oppure $f(x) \leq 0$

In ogni caso quello che otterrai dallo studio della disequazione sarà sufficiente per capire il segno della funzione.

Supponendo che la tua funzione sia $f(x)=\frac{2x}{x^2-9}$ (la devi scrivere meglio e devi essere molto più preciso in futuro), devi studiare il numeratore e il denominatore separatamente:

$2x>0$ --> $x>0$

$x^2-9>0$ --> $x<-3$ e $x>3$

Quindi mettendo insieme i segni di numeratore e denominatore:

- per $x<-3$  si ha $f(x)<0$

- per $x=-3$ la $f(x)$ non è definita

- per $-3<x<0$ si ha che $f(x)>0$

- per $x=0$ la $f(x)=0$ 

- per $0<x<3$ si ha $f(x)<0$

- per $x=3$ la $f(x)$ non è definita

- per $x>3$ si ha $f(x)>0$

Il segno di una funzione si studia facendo così

f(x) >0

In pratica si va a vedere dove la funzione sta sopra l'asse delle x (e quindi in automatico dove sta sotto). 

Da sotto in su.
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QUALE SAREBBE IL SEGNO DI QUESTA FUNZIONE?
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sgn%5B2x%2Fx%5E2-9%5D
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IL SEGNO SI STUDIA per f(x) > 0 o f(x) <=0?
Per entrambe le semirette, da - ∞ a + ∞.
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HO DEI DUBBI SULLO STUDIO DEL SEGNO DELLA FUNZIONE.
Falso: non si tratta di "dubbi su ...", ma del non aver letto con attenzione concentrata TUTTO il capitolo precedente il paragrafo da cui hai preso l'esercizio.
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STUDIO DI UNA FUNZIONE SEMPLICE
Falso: se l'avessi ritenuta semplice non avresti pubblicato la domanda; se l'hai pubblicata vuol dire che è troppo complessa per i tuoi dubbii. Chiesero al Prof. Bellman perché alla fine dei capitoli avesse messo paragrafi intitolati "Esercizi e Temi di Ricerca" e lui rispose "Se lo sai fare è un esercizio, se no è un tema di ricerca.".