Notifiche
Cancella tutti

Studio di funzioni parametriche

  

0

y= e^2x  -4e^x +kx 

Determina per quali valori di k la funzione ha un solo punto di estremo relativo 

 

Autore
3 Risposte
0

y' = 2 e^(2x) - 4e^x + k = 0

deve avere una sola radice : e^x = u 

2 u^2 - 4 u + k = 0 ha una sola radice =>  D = 16 - 4*2*k = 0  =>  8k = 16 => k = 2

 

A rigore si dovrebbe provare, ma é abbastanza facile, che se le radici sono due, D > 0, 

sono entrambi estremi relativi.

@eidosm all' inizio pensavo fosse questo il ragionamento giusto, ma facendo così non si ottiene un estremo relativo, bensì un flesso a tangente orizzontale. La soluzione è k<0




0

@ftt

Ciao.

La funzione: y = e^(2·x) - 4·e^x + k·x

è definita e continua per ogni valore reale di k in ]-inf;+inf[

deve essere: y' =dy/dx=0

2·e^(2·x) - 4·e^x + k =0

poniamo: e^x=t

2·t^2 - 4·t + k = 0 quindi determiniamo il:

Δ/4 = 0----> (-2)^2 - 2·k = 0-----> k = 2

per tale valore si ha: y' = 0.Però questo valore di k che non assicura che in corrispondenza si abbia un estremo relativo inteso questo come massimo o minimo relativo.

Infatti la derivata seconda è, per ogni valore di k (e quindi anche di K=2), anche alla luce dei commenti che ho visto:

y'' = 4·e^(2·x) - 4·e^x

e quindi:

y''> 0-----> x > 0

y''<0 -----> x < 0

y''=0 -----> x = 0

Quindi anche  in corrispondenza di k=2 si ha un punto di flesso a tangente orizzontale per x=0

https://www.geogebra.org/m/p7g6prx9

Clicca sul triangolino per avere una immagine gif

 

0

Con
* y = e^(2*x) - 4*e^x + k*x
* y' = 2*e^(2*x) - 4*e^x + k
* y'' = 4*(e^x - 1)*e^x
si scrive la condizione di estremo relativo in forma di sistema
* (2*e^(2*x) - 4*e^x + k = 0) & (4*(e^x - 1)*e^x != 0) ≡
≡ ((e^x)^2 - 2*e^x + k/2 = 0) & (e^x != 1) ≡
≡ ((e^x = 1 - √((2 - k)/2)) oppure (e^x = 1 + √((2 - k)/2))) & (x != 0) ≡
≡ ((x = ln(1 - √((2 - k)/2))) oppure (x = ln(1 + √((2 - k)/2)))) & (x != 0) ≡
≡ (x = ln(1 - √((2 - k)/2)) != 0) oppure (x = ln(1 + √((2 - k)/2)) != 0) ≡
≡ (x = ln(1 - √((2 - k)/2))) & (0 < k < 2) oppure (x = ln(1 + √((2 - k)/2))) & (k < 2)
---------------
Aggiungendo il vincolo "k <= 0" il primo estremo relativo scompare e resta solo
* (x = ln(1 + √((2 - k)/2))) & (k <= 0)
------------------------------
ESEMPIO: k = - 1
* x = ln(1 + √(3/2))
* y = e^(2*ln(1 + √(3/2))) - 4*e^ln(1 + √(3/2)) - ln(1 + √(3/2)) ≡
≡ y = ln(√6 - 2) - (3/2 + √6) ~= - 4.7 < 0
* y' = 2*e^(2*ln(1 + √(3/2))) - 4*e^ln(1 + √(3/2)) - 1 ≡
≡ y' = 0
* y'' = 4*(e^ln(1 + √(3/2)) - 1)*e^ln(1 + √(3/2)) ≡
≡ y'' = 2*(1 + √(3/2))*√6 ~= 10.9 > 0
L'unico estremo è un minimo relativo.
Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3De%5E%282*x%29-4*e%5Ex-x%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=extrema+e%5E%282*x%29-4*e%5Ex-x

 




Risposta



About SosMatematica

Seguici su:

Scarica la nostra App Ufficiale

SOS Matematica

GRATIS
VISUALIZZA