Considera la funzione
$$
f_k(x)=\frac{x(2 x+k)}{x^2+k}
$$
dove $k$ è un parametro reale non nullo, e indica con $\gamma_k$ il suo grafico.
1. Determina il dominio della funzione al variare di $k$ e verifica che tutte le curve passano per il punto $O$, origine del sistema di riferimento, e che in tale punto hanno tutte la stessa retta tangente $t$.
2. Dimostra che $\gamma_k$ e $t$ per $k \neq-4 \wedge k \neq 0$ si intersecano in due punti fissi.
Fissato ora $k=4$, poni $f(x)=f_4(x)$ e indica con $\gamma$ il suo grafico.
3. Studia la funzione $f(x)$ e traccia il grafico $\gamma$.
4. Determina l'area della regione finita di piano $R_1$ delimitata da $\gamma$, dal suo asintoto orizzontale e dall'asse delle ordinate, e l'area della regione finita di piano $R_2$ delimitata da $\gamma$ e dall'asse delle ascisse. Qual è la regione con area maggiore?
