studio di funzione

mentre il dominio, mi permetto di correggerti è x>0

perché devi considerare il logaritmo a numeratore, che risulta positivo perché logaritmo di ”qualcosa” elevato al quadrato, MA quel “qualcosa” (X) deve essere maggiore di zero (in quanto risultato di un elevamento a potenza) 

il logaritmo al quadrato (come lo hai scritto in foto)

in quanto numero elevato al quadrato è sempre positivo. 

Mi spiace contraddirvi entrambi, e ne chiedo scusa specie @Anna-supermath, ma proprio non sono d'accordo né sui termini né sui calcoli; almeno attenendomi alla lettera della domanda e senza aggiungere ipotesi inespresse (cosa che, in sede d'esame, provoca bocciatura). Io vedo:
* titolo: "studio di funzione"
* quesito: "come si calcola il logaritmo al quadrato?"
* manoscritto: "y = (log^2 x)/x ..." che, in sintassi da tastiera, si scrive "y = (log(b, x))^2/x"
e a questo solo rispondo, prima al quesito e poi al titolo.
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A) "come si calcola il logaritmo al quadrato?"
Applicando l'ordine di precedenza degli operatori: prima si valuta l'argomento x; al valore dell'argomento si applica il logaritmo nella base b —che ti restò nella tastiera— come ln(x)/ln(b); al valore ottenuto si applica l'elevamento al quadrato.
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B) "studio di funzione"
La funzione
* f(x, b) = y = (log(b, x))^2/x
ha
* dominio: l'intero prodotto cartesiano fra gl'insiemi da cui vengono base e argomento, D ≡ {b} × {x}.
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss.
* insieme di definizione: (b != 0) & (b != 1) & (x != 0)
* insieme di definizione reale: (b > 0) & (b != 1) & (x > 0)
e assume valori complessi se b o x o entrambi hanno valori negativi.
Note
1) Se b o x o entrambi hanno valori complessi, cioè privi di segno, l'insieme di definizione reale è vuoto perché la relazione ">" risulta indefinita.
2) Nel caso che entrambi b ed x siano reali e che valga la condizione restrittiva (b > 0) & (b != 1) & (x > 0) allora si tratta dello studio di una funzione reale di variabili reali che, a meno della costante
* k = 1/ln^2(b) > 0
coincide con quello di
* f(x) = y = ln^2(x)/x
definita e positiva per x > 0, salvo che nell'unico zero f(1) = 0.
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Dai limiti
* lim_(x → 0+) f(x) = + ∞
* lim_(x → + ∞) f(x) = 0
si vede che i semiassi positivi degli assi coordinati sono asintoti.
Dalle due prime derivate
* f'(x) = (2 - ln(x))*ln(x)/x^2
* f''(x) = 2*(ln^2(x) - 3*ln(x) + 1)/x^3
si identificano le ascisse dei flessi
* f''(x) = 0 ≡ (ln^2(x) - 3*ln(x) + 1 = 0) & (x > 0) ≡
≡ (x = e^((3 - √5)/2)) oppure (x = e^((3 + √5)/2))
e quelle degli estremi
* minimo relativo: (f'(x) = 0) & (f''(x) > 0) & (x > 0) ≡
≡ ((2 - ln(x))*ln(x)/x^2 = 0) & (2*(ln^2(x) - 3*ln(x) + 1)/x^3 > 0) & (x > 0) ≡
≡ x = 1
* massimo relativo: (f'(x) = 0) & (f''(x) < 0) & (x > 0) ≡
≡ ((2 - ln(x))*ln(x)/x^2 = 0) & (2*(ln^2(x) - 3*ln(x) + 1)/x^3 < 0) & (x > 0) ≡
≡ x = e^2