Studio di funzione

y = 1/3·x^3 - 3·x^2

La funzione è una cubica: continua e derivabile su tutto R (come tutte le altre funzioni polinomiali)

E' illimitata sia superiormente che inferiormente come assicurano le condizioni agli estremi del C.E.

LIM(1/3·x^3 - 3·x^2) = -∞

x--> -∞

LIM(1/3·x^3 - 3·x^2) = +∞

x---> +∞

Quindi si può parlare solo di max e di min relativi

y'= dy/dx=x^2 - 6·x

y''= 2·x - 6

Studio crescenza e decrescenza

x^2 - 6·x > 0 se  x < 0 ∨ x > 6 : f(x) cresce

x^2 - 6·x < 0 se 0 < x < 6 : f(x) decresce

x^2 - 6·x = 0 se x = 6 ∨ x = 0 : punti di stazionarietà

Per x=0: f(x)=0 si ha un max relativo

Per x=6: f(x)= 1/3·6^3 - 3·6^2 = -36 si ha un min relativo

Studio della concavità (convessità)

2·x - 6 > 0 se x > 3: f(x) presenta concavità verso l'alto

2·x - 6 < 0 se x < 3: f(x) presenta concavità verso il basso

2·x - 6 = 0 se x = 3: f(x) presenta un punto di flesso

per x=3: f(x)= 1/3·3^3 - 3·3^2  = -18

 

 

 

 

* y = f(x)
* y' = f'(x)
* y'' = f''(x)
VIncolo da risolvere per trovare l'ascissa dei punti di
* massimo relativo: (f''(x) < 0) & (f'(x) = 0)
* flesso: f''(x) = 0
* minimo relativo: (f''(x) > 0) & (f'(x) = 0)