Problemi, studio derivate.

$ f(x) = \frac {1}{x^2+ax+b} $

a.  La funzione è definita in tutto ℝ se e solo se il denominatore non si annulla, ovvero se il discriminante risulta negativo.

$ Δ < 0 $

$ a^2 -4b < 0 $

La funzione f(x) è del tipo razionale fratta quindi risulta continua laddove definita.

Condizione necessaria e sufficiente per essere continua in tutto ℝ è che

$ a^2 -4b < 0 $

b.  Se la funzione f(x) ammette un asintoto verticale di equazione x = 1 significa che ha la forma  del tipo 

$ f(x) = \frac {1}{x^2+ax+b} = \frac{1}{(x-1)(x-β)} = \frac{1}{x^2-(β+1) x + β}$   con β numero reale.

Per confronto si ha

1. a = -(β+1)
2. b = β

Utilizziamo l'informazione x = 2 è un estremante.

Deriviamo rispetto a x la funzione espressa in β

$f'(x) = \frac {β-2x+1}{(x-1)^2(x-β)^2}$

Estremante per x = 2 significa che la derivata prima sarà nulla

$f'(2) = 0$

$ β-2x+1 = 0$      per x = 2

$ β = 3   \; ⇒ \; b = 3  \; ∧ \; a = -4$

La funzione è quindi

$ f(x) = \frac {1}{x^2-4x+3} $

c.   

Intersezione con l'asse delle y (equazione x = 0)

$ y = \frac{1}{3}$

Usiamo l'equazione della retta tangente

$ y = f(0) + f'(0)(x-0) $

ricaviamo la derivata prima nel punto x = 0 ricordando che, nel nostro caso,  β = 3.

$ y'(x) = \frac{4-2x}{(x-1)^2(x-3)^2}  \; ⇒ \: y'(0) = \frac{2}{9} $

La retta tangente ha equazione

$ y = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} x $ 

d.

dalla $ y'(x) = \frac{4-2x}{(x-1)^2(x-3)^2} $ ricaviamo lo studio del segno

_____1_______2_______3_____

++++++++++0-------------------    (4-2x)

+++X+++++++++++++++++     /(x-1)²

++++++++++++++++X++++    /(x-3)²

+++X++++++0----------X-------    y'(x)  

..↗..X......↗......=.....↘.....X...↘....    y(x)

La funzione è strettamente decrescente in (2, 3) e in (3, +∞)

e. 

Non nell'intervallo [0, 4]  c'è un asintoto verticale quindi la funzione non è continua in [0, 4]

OK, nell'intervallo $[\frac{3}{2},  \frac{5}{2}]$. Infatti

1. E' definita e continua in $[\frac{3}{2},  \frac{5}{2}]$
2. E' derivabile in $(\frac{3}{2},  \frac{5}{2})$  
3. Inoltre $f(3/2)= f(5/2) ) -\frac{4}{3}$