[Risolto] Stabilire la posizione reciproca di una retta e di un'iperbole.

{x - k·y + 2 = 0

{5·x^2 - 9·y^2 = 45

Procedo con sostituzione:

x = k·y - 2

5·(k·y - 2)^2 - 9·y^2 = 45

y^2·(5·k^2 - 9) - 20·k·y - 25 = 0

soluzioni reali per:

Δ/4 = (- 10·k)^2 + 25·(5·k^2 - 9)= 225·(k^2 - 1) ≥ 0

k ≤ -1 ∨ k ≥ 1

In particolare per: 

k < -1 ∨ k > 1 rette secanti

k = -1 ∨ k = 1 rette tangenti

225·(k^2 - 1) < 0----> -1 < k < 1 rette esterne

Rette tangenti:

x - (-1)·y + 2 = 0-----> y = -x - 2

x - 1·y + 2 = 0----> y = x + 2

{y = -x - 2

{5·x^2 - 9·y^2 = 45

nel punto: [x = - 9/2 ∧ y = 5/2]

{y = x + 2

{5·x^2 - 9·y^2 = 45

nel punto: [x = - 9/2 ∧ y = - 5/2]

{y = -x - 2

{y = x + 2

Quindi centro del fascio proprio: [x = -2 ∧ y = 0]

Area richiesta:

Α = 1/2·(5/2 + 5/2)·(-2 + 9/2)----> Α = 25/4

ESAME della situazione
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L'iperbole
* Γ ≡ 5*x^2 - 9*y^2 = 45 ≡
≡ x^2/(45/5) - y^2/(45/9) = 1 ≡
≡ (x/3)^2 - (y/√5)^2 = 1
ha
* assi di simmetria sugli assi cartesiani e centro nell'origine
* asintoti y = ± (√5/3)*x
* vertici V(± 3, 0)
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Il fascio proprio di rette centrato in C(- 2, 0) ha due casi
* r(k) ≡ x - k*y + 2 = 0 ≡
≡ (k = 0) & (r(0) ≡ x = - 2)
oppure
≡ (k != 0) & (r(k) ≡ y = (x + 2)/k)
di pendenza
* m(k) = 1/k
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Nei due casi si ha
* r(0) & Γ ≡ nessun punto comune (- 3 < - 2 < 3)
oppure
* r(k) & Γ ≡ (y = (x + 2)/k) & ((x/3)^2 - (y/√5)^2 = 1) & (k != 0) ≡
≡ (k = ± 3/√5) & (x = - 13/4) & (y = ∓ 5*√5/12)
oppure
≡ (k ∉ {- 3/√5, 0, 3/√5} != ± 3/√5) &
& (x = 3*(6 ± 5*√((k^2 - 1)*k^2))/(5*k^2 - 9)) &
& (y = 5*(2*k^2 ± 3*√((k^2 - 1)*k^2))/(k*(5*k^2 - 9)))
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RISOLUZIONE
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A) Posizione reciproca
1) r(k) esterna a Γ: (k = 0) oppure (k != 0) & ((k^2 - 1)*k^2 < 0) ≡ 0 <= |k| < 1.
2) r(k) tangente Γ: (k != 0) & ((k^2 - 1)*k^2 = 0) ≡ |k| = 1.
3) r(k) secante Γ: (k != 0) & ((k^2 - 1)*k^2 > 0) ≡ |k| > 1.
Distinzione dei casi
* k < - 1: secante
* k = - 1: tangente
* - 1 < k < 1: esterna
* k = + 1: tangente
* k > + 1: secante
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B1) Le tangenti
* r(- 1) ≡ y = - (x + 2)
* r(+ 1) ≡ y = x + 2
s'intersecano ovviamente in C(- 2, 0) e costituiscono l'iperbole degenere
* y^2 = (x + 2)^2
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B2) Disegna ...: vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x%2F3%29%5E2-%28y%2F%E2%88%9A5%29%5E2%3D1%2Cy%5E2%3D%28x--2%29%5E2%5Dx%3D-9to9%2Cy%3D-9to9
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B3) I punti di tangenza sono
* ((x/3)^2 - (y/√5)^2 = 1) & (y^2 = (x + 2)^2) ≡
≡ A(- 9/2, - 5/2) oppure B(- 9/2, 5/2)
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B4) Calcola l'area ...
* b = |AB| = 5
* h = |xA - xC| = |- 9/2 - (- 2)| = 5/2
* S(ABC) = b*h/2 = = (5/2)^2 = 25/4