Osserviamo che la somma dei quadrati delle soluzioni si può esprimere tramite la somma e il prodotto delle soluzioni; infatti:
$$
x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2 x_1 x_2
$$
Buongiorno, non capisco perchè $x_1^2+x_2^2 fa (x_1+x_2)^2 -2x_1x_2$?
Grazie.
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Livello 1
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Lascia perdere le radici dell'equazione di secondo grado, per capire; poi ci si torna alla fine.
Si capisce facendo mente locale sulle identità che esprimono il prodotto notevole "quadrato di binomio" e le sue espressioni equivalenti ottenute col sottrarre/addizionare membro a membro la stessa quantità.
0) a^2 + 2*a*b + b^2 = (a + b)^2
1) 2*a*b + b^2 = (a + b)^2 - a^2
2) a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2*a*b
3) a^2 + 2*a*b = (a + b)^2 - b^2
le espressioni #1, 2, 3 si chiamano "completamento del quadrato", l'espressione #2 è quella che t'ha lasciato perplessa.
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Il collegamento con l'equazione di secondo grado non è immediato (molte parole), ma in sostanza è semplice (pochi concetti con collegamenti lineari).
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A) Ogni equazione razionale intera si può sempre ridurre alla forma normale canonica
* polinomioRidottoOrdinatoSulGradoDecrescenteDellaVariabile = 0
e si dice che l'equazione è del grado N se N è il massimo grado con cui compare la variabile. Per il grado due
* a*x^2 + b*x + c = 0
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B) Ogni equazione razionale intera in forma normale canonica si può sempre ridurre alla forma normale canonica monica (con "+ 1" come coefficiente direttore, cioè del monomio di massimo grado) dividendo membro a membro per il coefficiente direttore. Per il grado due
* x^2 + (b/a)*x + c/a = 0
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C) Con (s = - b/a) & (p = c/a) ogni equazione razionale intera di grado due si può ridurre alla forma normale canonica monica
* x^2 - s*x + p = 0
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D) Applicando alla forma C la procedura risolutiva che Bramegupta pubblicò nel VII secolo
* x^2 - s*x + p = 0 ≡ (completamento del quadrato, #3)
≡ (x - s/2)^2 - (s/2)^2 + p = 0 ≡
≡ (x - s/2)^2 = s^2/4 - p ≡
≡ (x - s/2)^2 = (√(s^2 - 4*p)/2)^2 ≡
≡ x - s/2 = ± √(s^2 - 4*p)/2 ≡
≡ x = s/2 ± √(s^2 - 4*p)/2 ≡
≡ (X1 = s/2 - √(s^2 - 4*p)/2) oppure (X2 = s/2 + √(s^2 - 4*p)/2)
si dimostra che
* X1 + X2 = s (come "somma" delle radici)
* X1 * X2 = p (come "prodotto" delle radici)
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CONCLUSIONE
Se un esercizio chiede "la somma dei quadrati delle radici" si applica il "completamento del quadrato, #2"
2) a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2*a*b
e si risponde: «s^2 - 2*p».
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