Soluzioni negative di un'equazione di secondo grado

Verifica di realtà delle radici

D = (a - 1)^2 + 8a ( a + 1 ) >= 0

a^2 - 2a + 1 + 8 a^2 + 8a >= 0

9a^2 + 6a + 1 >= 0

(3a + 1)^2 >= 0 sempre verificata per a in R

e) una soluzione nulla : x = 0 => - (a + 1) = 0 => a = -1

d) soluzioni negative - B/A < 0 e C/A > 0

(1-a)/(2a) < 0 => (a-1)/a > 0 => a < 0 V a > 1

- (a+1)/(2a) > 0 => (a + 1)/a < 0 => - 1 < a < 0

componendo per intersezione : -1 < a < 0

NOTE PRELIMINARI (nomi, relazioni, ripassi, ...)
---------------
A) Per antiche idiosincrasie personali se c'è un solo parametro lo chiamo k.
---------------
B1) Qualsiasi dis/equazione di secondo grado si può porre nella forma
f(x) = a*T(x) <dis/eguaglianza> 0
con
* a != 0; T(x) = x^2 - s*x + p
---------------
B2) In generale, il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2),
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che
* X1 + X2 = s (somma)
* X1 * X2 = p (prodotto).
--------
Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
--------
Gli zeri X1 e X2 sono distinti se il discriminante Δ è non nullo:
* complessi coniugati se Δ < 0
* reali se Δ > 0.
---------------
B3) Nel caso in cui i coefficienti (s, p) siano funzioni (s(k), p(k)) di un parametro k, ogni vincolo V(X1, X2) = 0 sugli zeri si traduce, tramite l'espressione X = (s ± √Δ)/2, in due equazioni in k.
==============================
ESERCIZIO #6
Data la famiglia, parametrica in k, di equazioni di secondo grado in x
* (2*k*x^2 + (k - 1)*x - (k + 1) = 0) & (k != 0) ≡
≡ (x^2 + ((k - 1)/(2*k))*x - (k + 1)/(2*k) = 0) & (k != 0)
riconducibile alla forma B2 con
* s = (1 - k)/(2*k)
* p = - (k + 1)/(2*k)
* Δ = s^2 − 4*p = ((1 - k)/(2*k))^2 + 4*(k + 1)/(2*k) = ((3*k + 1)/(2*k))^2
* X1 = (s - √Δ)/2 = ((1 - k)/(2*k) - (3*k + 1)/(2*k))/2 = - 1
* X2 = (s + √Δ)/2 = ((1 - k)/(2*k) + (3*k + 1)/(2*k))/2 = (k + 1)/(2*k)
si chiede di determinare i valori del parametro k per cui si hanno radici:
---------------
a) opposte ≡ s = 0 ≡ (1 - k)/(2*k) = 0 ≡ k = 1
---------------
b) reciproche ≡ p = - 1 ≡ - (k + 1)/(2*k) = - 1 ≡ k = 1
---------------
c) tali che la somma degl'inversi valga due ≡ 1/X1 + 1/X2 = 2 ≡
≡ 1/(- 1) + 1/((k + 1)/(2*k)) = 2 ≡ k = - 3
---------------
d) entrambe negative ≡ X2 < 0 ≡ (k + 1)/(2*k) < 0 ≡ - 1 < k < 0
---------------
e) tali che una sia nulla ≡ (X1 = 0) oppure (X2 = 0) ≡
≡ (- 1 = 0) oppure ((k + 1)/(2*k) = 0) ≡
≡ (contraddizione) oppure (k = - 1) ≡
≡ k = - 1