Solido volume

Question

La base di un solido e' un cerchio x^2+y^2=16x ed ogni sezione piana perpendicolare alla asse x e'un rettangolo la cui altezza e' il doppio della distanza del piano secante dall origine  calcolatene il volume

LucianoP · Accepted Answer

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EidosM · Answer

La base è il cerchio:

x^2+y^2=16x⇒x^2−16x+y^2=0⇒(x−8)^2+y^2=64

quindi centro (8,0) e raggio 8. In proiezione sull’asse x, il solido esiste per

(x−8)^2≤64  ⇒  x∈[0,16].

Area della sezione a x fissato

La sezione perpendicolare all’asse x è un rettangolo.

Base del rettangolo: è la corda del cerchio a coordinata x, quindi

y^2=sqrt[64−(x−8)^2]  ⇒  y=±sqrt[64−(x−8)^2]

per cui la lunghezza della base è

b(x)=2sqrt [64−(x−8)^2].

Altezza del rettangolo: è il doppio della distanza del piano x=costante dall’origine. La distanza dall’origine lungo l’asse x è ∣x∣, quindi

h(x)=2∣x∣.

Nel nostro intervallo x∈[0,16] vale ∣x∣=x, quindi

h(x)=2x.

Allora l’area della sezione è

A(x)=b(x) h(x)=2sqrt[64−(x−8)^2]⋅2x=4x sqrt [64−(x−8)^2].

Integrale del volume

V=∫_[0,16] A(x) dx=∫_[0,16] 4x sqrt [64−(x−8)^2] dx.

Pongo

t=x−8⇒x=t+8,  dx=dt,

con

x=0⇒t=−8,x=16⇒t=8.

Allora

V=4∫_[−8,8] (t+8)*sqrt[64−t^2] dt=4[∫_[−8,8] t*sqrt[64−t^2] dt+8∫_[−8,8] sqrt [64−t^2]dt.

Il primo integrale è nullo perché l’integranda è una funzione dispari su [−8,8]:

∫_[−8,8] t sqrt [64−t^2] dt=0.

Il secondo integrale è l’area del semicerchio di raggio 8:

S_[−8,8] sqrt [64−t^2]  dt=1/2π⋅8^2=32π.

Quindi

V=4[0+8⋅32π]=4⋅256π=1024π.

EidosM

(@eidosm)

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09/04/2026 19:48

Solido volume

Area della sezione a x fissato

Integrale del volume

Domande