[Risolto] Solido di rotazione numero 534

@luigi2

 

BE = x , 0 < x < l

Il triangolo EBD è rettangolo con angoli di 30, 60 e 90 gradi.

Quindi:

BD=x/2

DE= (x/2)*radice (3}

DG = (l - x) 

DH = ((l - x) /2)

 

Possiamo quindi calcolare il volume del cilindro:

V(x) =pi* (DH)² * DE

V(x) = ((pi*radice (3))/8)*(l - x)² * x

 

Determino i valori di x che annullano la derivata prima e ne studio il segno. 

 

V'(x) = ((pi*radice (3))/8)*[2*(l-x)*(-x) + (l-x)²] =

 = ((pi*radice (3))/8)*(3x² - 4lx + l²)

 

Quindi:

V'(x) =0 se x=l/3 oppure x=l

V'(x) >0 se x< l/3 oppure x>l

 

Possiamo quindi dire che:

x=l/3

è un punto di massimo per la funzione V(x).

 

 

 

Lato del triangolo equilatero ABC = L;

Condizione posta per BE =  x;   x < L;

Il triangolino EBD è rettangolo; l'angolo in E misura 30°; l'ipotenusa è x;

altezza cilindro  DE = x * cos30° = x * rad(3)/2; altezza cilindro.

BD = x * sen30° = x/2;

Base cilindro DG = BC - (BD + CG);

DG = L - ( x/2 + x/2) = L - x;

raggio del cerchio di base del cilindro DH;

DH = DG/2 = 1/2 * (L - x); raggio.

Volume cilindro = pigreco * r^2 * h;

V = pigreco * [1/2 * (L - x)]^2 * [x * rad(3)/2];

V = (pigreco * rad(3) / 4) * (L^2 + x^2 - 2Lx ) * x;

V(x) = (pigreco * rad(3) / 4) * (x^3 - 2Lx^2+ L^2 x);

Volume massimo; derivata prima dV(x) / dx = 0; V'(x) = 0;

V'(x) = (pigreco * rad(3) / 4) * ( 3x^2 - 4Lx +L^2);

V'(x) = 0 se :

3x^2 - 4Lx + L^2 = 0;

x = [2L +- rad(4L^2 - 3L^2)] / 3;

x = [2L +- rad(L^2) ] / 3;

x1 = (2L + L ) / 3 = L; da scartare.

x deve essere minore di L;

x2 = (2L - L ) / 3 = L /3; punto di massimo.

Cilindro di volume massimo.

ciao @luigi2