TROVARE IL VOLUME DEL SOLIDO GENERATO DALLA ROTAZIONE ATTORNO ALL ASSE X DELLA REGIONE FINITA DI PIANO DALLA PARABOLA Y=x^2-4 e dalle rette y=x e e x =2
TROVARE IL VOLUME DEL SOLIDO GENERATO DALLA ROTAZIONE ATTORNO ALL ASSE X DELLA REGIONE FINITA DI PIANO DALLA PARABOLA Y=x^2-4 e dalle rette y=x e e x =2
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Livello 2
Con riferimento alla figura si tratta di calcolare l'integrale di:
pi·(g^2 - f^2) = pi·(x^2 - (x^2 - 4)^2)
Valutato tra l'ascissa di B: Xb=2
e l'ascissa di A= ?
Quindi risolviamo il sistema:
{y = x
{y = x^2 - 4
che ha soluzione:
[x = √17/2 + 1/2 ∧ y = √17/2 + 1/2, x = 1/2 - √17/2 ∧ y = 1/2 - √17/2]
Quindi scartiamo la seconda ed abbiamo
xA = (√17 + 1)/2
∫(- pi·(x^4 - 9·x^2 + 16)) dx = - pi·x^5/5 + 3·pi·x^3 - 16·pi·x
per x = (√17 + 1)/2 si ha:
- pi·((√17 + 1)/2)^5/5 + 3·pi·((√17 + 1)/2)^3 - 16·pi·((√17 + 1)/2) =
=pi·(- (17·√17 - 7)/5)
per x = 2 si ha:
- pi·2^5/5 + 3·pi·2^3 - 16·pi·2 = - 72·pi/5
pi·(- (17·√17 - 7)/5) + 72·pi/5 = pi·(79 - 17·√17)/5
(cioè: 5.6 circa unità cubiche)
115467
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Genius III