È dato il sistema: $\left\{\begin{array}{l}x-2 b y=1 \\ x-a y=a+2\end{array}\right.$
Determina le condizioni sui parametri $a$ e $b$ in modo che il sistema:
a. sia determinato;
b. sia indeterminato;
c. sia impossibile;
$$
\left[\begin{array}{r}
{[a \neq 2 b]} \\
\left.a=-1 \wedge b=-\frac{1}{2}\right] \\
{[a=2 b \wedge a \neq-1]}
\end{array}\right.
$$
d. sia equivalente al sistema
$$
\left\{\begin{array}{l}
5 x-2 y=3 \\
x+2 y=9
\end{array} . \quad\left[a=0 \wedge b=\frac{1}{7}\right]\right.
$$
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Livello 0
Il determinante dei coefficienti del sistema è pari a: 2·b - a
Quindi il sistema è determinato (ed allora ammette una sola soluzione) se risulta:
2·b - a ≠ 0----> a ≠ 2·b oppure in maniera equivalente: b ≠ 1/2·a
In tal caso i coefficienti relativi alla y si mantengono in proporzione assieme a quelli della x e quindi il loro rapporto vale 1
Se si vuole che sia il sistema indeterminato tale rapporto si deve mantenere anche per i termini noti. Quindi deve essere verificato il sistema:
{2·b - a = 0
{- 2·b/(-a) = 1/(a + 2)
che risolto fornisce: [a = -1 ∧ b = - 1/2]
Se si vuole un sistema impossibile:
{2·b - a = 0
{- 2·b/(-a) ≠ 1/(a + 2)
b = a/2 dalla prima.
- 2·(a/2)/(-a) ≠ 1/(a + 2)
a ≠ -1 e a=2b
Se si vuole che il sistema sia equivalente ad:
{5·x - 2·y = 3
{x + 2·y = 9
deve fornire la medesima soluzione: x = 2 ∧ y = 7/2
{x - 2·b·y = 1
{x - a·y = a + 2
x = - 2·b·(2·b + 1)/(a - 2·b) - 2·b + 1 ∧ y = (a + 1)/(2·b - a)
Quindi bisognerà porre:
{- 2·b·(2·b + 1)/(a - 2·b) - 2·b + 1 = 2
{(a + 1)/(2·b - a) = 7/2
lo risolvi ed hai: [a = 0 ∧ b = 1/7]
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Genius III
