[Risolto] Sistemi letterali

Per questa soluzione userò il metodo di Cramer che avevo già spiegato in questa risposta.

$\begin{cases} (a-1)x+(a+1)y = a^2 \\ (a^2-1)x+y=2a \end{cases}$

$\begin{bmatrix} a-1 & a+1 \\ a^2-1 & 1 \end{bmatrix}$

$D= (a-1) \cdot 1 - (a+1) \cdot (a^2-1) = (a-1)(1-(a+1)^2)=(a-1)(1-a^2-2a-1)=-a(a-1)(a+2)$

$\begin{bmatrix} a^2 & a+1 \\ 2a & 1 \end{bmatrix}$

$D_x = a^2 \cdot 1 -2a(a+1) =a(a-2(a+1))=a(a-2a-2)=a(-a-2)=-a(a+2)$

$\begin{bmatrix} a-1 & a^2 \\ a^2-1 & 2a \end{bmatrix}$

$D_y = 2a(a-1) - a^2(a^2-1)=(a-1)(2a-a^2(a+1))=a(a-1)(2-a(a+1))= a(a-1)(-a^2-a+2)=-a(a-1)(a+2)(a-1)=-a(a+2)(a-1)^2$

Se il sistema è determinato $D=-a(a-1)(a+2) \neq 0$, quindi $a \neq 0 \land a \neq 1 \land a \neq -2$, a quel punto:
$x=\frac{D_x}{D} = \frac{-a(a+2)}{-a(a-1)(a+2)}= \frac{1}{a-1}$

$y=\frac{D_y}{D} 0 \frac{-a(a+2)(a-1)^2}{-a(+2)(a-1)}= a-1$

Se $a = 0$:

$\begin{cases} (0-1)x+(0+1)y=0^2 \\ (0^2-1)x+y = 2\cdot 0 \end{cases}$
$\begin{cases} -x+y=0 \\ -x +y = 0 \end{cases}$

Le equazioni sono equivalenti, quindi il sistema è indeterminato.

Se $a=1$:

$\begin{cases} (1-1)x+(1+1)y=1^2 \\ (1^2-1)+y = 2 \cdot 1 \end{cases}$

$\begin{cases} 2y = 1 \\ y =2  \end{cases}$

$\begin{cases} y = \frac{1}{2} \\ y = 2 \end{cases}$

che ovviamente è impossibile, quindi il sistema è impossibile.

Se $a=-2$:

$\begin{cases}  (-2-1)x+(-2+1)y = (-2)^2 \\ ((-2)^2-1)x+y = -2 \cdot 2 \end{cases}$

$\begin{cases} -3x-y = 4 \\ 3x+y =-4 \end{cases}$

$\begin{cases} 3x +y = -4 \\ 3x +y = -4 \end{cases}$

Le equazioni sono equivalenti, quindi il sistema è indeterminato.