[Risolto] Sistemi letterali

Per questa soluzione userò il metodo di Cramer che avevo già spiegato in questa risposta.

$\begin{cases} \frac{ax}{b} + \frac{by}{a} = \frac{a+b}{ab} \\ \frac{a^2x}{b} - \frac{b^2y}{a} = \frac{a^2-b^2}{ab} \end{cases}$

Poniamo le condizioni di esistenza sui denominatori, quindi $ab \neq 0 \implies a \neq 0 \land b \neq 0$, quindi procediamo con le matrici:

$\begin{bmatrix} \frac{a}{b} & \frac{b}{a} \\ \frac{a^2}{b} & -\frac{b^2}{a} \end{bmatrix}$

$D=-\frac{a}{b} \cdot \frac{b^2}{a}-\frac{a^2}{b} \cdot \frac{b}{a} = -b-a$

$\begin{bmatrix} \frac{a+b}{ab} & \frac{b}{a} \\ \frac{a^2-b^2}{ab} & -\frac{b^2}{a} \end{bmatrix}$

$D_x= -\frac{a+b}{ab} \cdot \frac{b^2}{a} - \frac{a^2-b^2}{ab} \cdot \frac{b}{a} = -\frac{(a+b)b}{a^2}-\frac{a^2-b^2}{a^2} = -\frac{a+b}{a^2}(b+a-b)=-\frac{a+b}{a^2} \cdot a = -\frac{a+b}{a}$

$\begin{bmatrix} \frac{a}{b} & \frac{a+b}{ab} \\ \frac{a^2}{b} & \frac{a^2-b^2}{ab} \end{bmatrix}$

$D_y= \frac{a}{b} \cdot \frac{a^2-b^2}{ab} - \frac{a^2}{b} \cdot \frac{a+b}{ab} = \frac{a^2-b^2}{b^2}-\frac{a(a+b)}{b^2}=\frac{1}{b^2}(a^2-b^2-a(a+b))=\frac{1}{b^2} \cdot (a+b)((a-b)-a)=\frac{1}{b^2} (a+b)(a-b-a)=-\frac{1}{b^2}(a+b)b=-\frac{a+b}{b}$

Perché il sistema sia determinato deve accadere che $D=-b-a \neq 0 \implies a \neq -b$, a quel punto:
$x=\frac{D_x}{D} = -\frac{a+b}{a} \cdot (-1)\frac{1}{a+b}=\frac{1}{a}$

$y=\frac{D_y}{D}=-\frac{a+b}{b} \cdot (-1)\frac{1}{a+b} = \frac{1}{b}$

Queste sono le soluzioni nel caso in cui $a \neq 0 \land b \neq 0 \land a \neq -b$.

Se $a=-b \implies D=0$:

$x \cdot D = D_x$

$0x =-\frac{a+b}{a} = -\frac{-b+b}{-b}=\frac{0}{b}=0$

$0x=0$

$x \cdot D= D_y$

$0y = -\frac{a+b}{b}=-\frac{-b+b}{b}=\frac{0}{b}=0$

$0y=0$

Sommiamo le equazioni $x \cdot D =D_x$ e $y \cdot D = D_y$

$0(x+y)=0$

Per ogni coppia di valori $(x,y)$ $0(x+y)=0$, quindi in questo caso il sistema è indeterminato (nel caso in cui $a \neq 0 \land b \neq 0 \land a = -b$).

Nel caso in cui $a = 0 \lor b = 0$ il sistema perde di significato.