[Risolto] Sistemi di secondo grado

Penso d'averti già propinato il mio suggerimento anti errorucci, ma lo reitero volentieri: portare l'equazione lineare in forma esplicita (e l'hai fatto) e quella quadratica in forma canonica (e non l'hai fatto!) PRIMA d'ogni cosa; poi formare la risolvente con le eventuali condizioni d'esistenza.
Così ti sei confusa e hai scritto "... - 1 = 0" DOPO aver già moltiplicato per dieci: secondo l'antico proverbio cinese "GIGO" (~= zozzeria dentro, zozzeria fuori) se infili un'errore all'inizio di una galleria quell'errore avrà inevitabilmente effetti all'altro capo del cammino sporcando il risultato finale.
Inoltre, PER QUEST'ESERCIZIO PARTICOLARE, c'è anche una scorciatoia: i secondi membri di entrambe le equazioni sono eguali. La risolvente è già lì, pronta!
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Un modo tranquillo e al riparo dalle piccole distrazioni potrebb'essere quello di scrivere un po' più cose per dimenticare un po' meno cose.
584)
Sistema
* ((x + y)*(x - y)/10 + (x + y)^2/2 = 1) & (x + 2*y = 1) ≡
≡ (x + 2*y = 1) & ((x + y)*(x - y)/10 + (x + y)^2/2 = x + 2*y) ≡
≡ (x = 1 - 2*y) & ((x + y)*(x - y)/10 + (x + y)^2/2 - (x + 2*y) = 0)
Equazione quadratica
* (x + y)*(x - y)/10 + (x + y)^2/2 - (x + 2*y) = 0 ≡
≡ (x + y)*(x - y) + 5*(x + y)^2 - 10*(x + 2*y) = 0 ≡
≡ x^2 - y^2 + 5*(x^2 + y^2 + 2*x*y) - (10*x + 10*2*y) = 0 ≡
≡ x^2 - y^2 + 5*x^2 + 5*y^2 + 5*2*x*y - 10*x - 10*2*y = 0 ≡
≡ 6*x^2 + 4*y^2 + 10*x*y - 10*x - 20*y = 0
Risolvente
* 6*(1 - 2*y)^2 + 4*y^2 + 10*(1 - 2*y)*y - 10*(1 - 2*y) - 20*y = 0 ≡
≡ 8*y^2 - 14*y - 4 = 0 ≡
≡ 8*(y + 1/4)*(y - 2) = 0 ≡
≡ (y = - 1/4) oppure (y = 2)
e, da qui, le due soluzioni (x, y) in {(3/2, - 1/4), (- 3, 2)}.
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CONTROPROVA nel paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28x--y%29*%28x-y%29%2F10--%28x--y%29%5E2%2F2%3D1%2Cx--2*y%3D1%5D

@Aurora_Lecchi

Tutto giusto. Poi però moltiplichi il primo e il secondo membro dell'equazione per 10 ed elimini il denominatore comune. 

Quindi nel passaggio segnalato devi scrivere:

X² - y² + 5x² + 10xy + 5y² - 10 = 0 e non

.............. 5y² - 1 = 0