[Risolto] Sistemi di disequazioni

Il sistema
544) ((x^2 + 1)/10 + x/(x - 6) >= 0) & (5/(1 - x) < (8 - 5*x)/(x^2 - 1)) ≡
≡ ((x^2 + 1)/10 + x/(x - 6) >= 0) & (5/(1 - x) - (8 - 5*x)/(x^2 - 1) < 0)
essendo definito se e solo se nessun denominatore è zero, cioè per
* (x != 6) & (x != 1) & (x != - 1) ≡ x ∉ {- 1, 1, 6}
equivale al sistema
* ((x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6)/(10*(x - 6)) >= 0) & (- 13/(x^2 - 1) < 0) & (x ∉ {- 1, 1, 6}) ≡
≡ ((x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x - 6) >= 0) & (x^2 > 1) & (x ∉ {- 1, 1, 6})
di cui conviene trattare separatamente le disequazioni.
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* (x^2 > 1) & (x ∉ {- 1, 1, 6}) ≡ (x < - 1) oppure (x > 1)
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* ((x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x - 6) >= 0) & (x ∉ {- 1, 1, 6}) ≡
≡ ((x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x - 6) = 0) & (x ∉ {- 1, 1, 6})
oppure
≡ ((x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x - 6) > 0) & (x ∉ {- 1, 1, 6})
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* ((x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x - 6) = 0) & (x ∉ {- 1, 1, 6}) ≡
≡ (x = 2) oppure (x = 3)
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* ((x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x - 6) > 0) & (x ∉ {- 1, 1, 6}) ≡
≡ (x < 1) oppure (2 < x < 3) oppure (x > 6)
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* ((x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x - 6) >= 0) & (x ∉ {- 1, 1, 6}) ≡
≡ (x = 2) oppure (x = 3) oppure (x < 1) oppure (2 < x < 3) oppure (x > 6) ≡
≡ (x < 1) oppure (2 <= x <= 3) oppure (x > 6)
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* ((x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x - 6) >= 0) & (x^2 > 1) & (x ∉ {- 1, 1, 6}) ≡
≡ ((x < 1) oppure (2 <= x <= 3) oppure (x > 6)) & ((x < - 1) oppure (x > 1))
Anche per sviluppare questa congiunzione fra due disgiunzioni applicando la proprietà distributiva conviene usare trattamenti separati per evitare espressioni troppo lunghe nei vari passaggi.
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* ((x < 1) oppure (2 <= x <= 3) oppure (x > 6)) & (x < - 1) ≡
≡ (x < 1) & (x < - 1) oppure (2 <= x <= 3) & (x < - 1) oppure (x > 6) & (x < - 1) ≡
≡ (x < - 1) oppure (insieme vuoto) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ (x < - 1)
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* ((x < 1) oppure (2 <= x <= 3) oppure (x > 6)) & (x > 1) ≡
≡ (x < 1) & (x > 1) oppure (2 <= x <= 3) & (x > 1) oppure (x > 6) & (x > 1) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (2 <= x <= 3) oppure (x > 6) ≡
≡ (2 <= x <= 3) oppure (x > 6)
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* ((x - 1)*(x - 2)*(x - 3)*(x - 6) >= 0) & (x^2 > 1) & (x ∉ {- 1, 1, 6}) ≡
≡ ((x < 1) oppure (2 <= x <= 3) oppure (x > 6)) & ((x < - 1) oppure (x > 1)) ≡
≡ (x < - 1) oppure (2 <= x <= 3) oppure (x > 6)
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CONCLUSIONE
544) ((x^2 + 1)/10 + x/(x - 6) >= 0) & (5/(1 - x) < (8 - 5*x)/(x^2 - 1)) ≡
≡ (x < - 1) oppure (2 <= x <= 3) oppure (x > 6)
che è proprio il risultato atteso.