Sistemi 3 equazioni

Riscriviamola in forma canonica

$ \begin{cases} 2x-3y+z = 0 \\ x+y-2z = 1 \\ x-y-z = -1 \end{cases} $

(1° - 2*2° → 2°)

(1° - 2*3° → 3°)

$ \begin{cases} 2x-3y+z = 0 \\ -5y+5z = -2 \\ -y+3z = 2 \end{cases} $

(5*3° → 3°)

$ \begin{cases} 2x-3y+z = 0 \\ -5y+5z = -2 \\ -5y+15z = 10 \end{cases} $

(3° - 2° → 3°)

$ \begin{cases} 2x-3y+z = 0 \\ -5y+5z = -2 \\ 10z = 12 \end{cases} $

dall'ultima equazione a salire

• z = 6 / 5
• y = 8 / 5
• x = 9 / 5

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$\small \begin{Bmatrix}
2x-3y&=&-z\\
x+y&=&2z+1\\
x-y&=&z-1\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
2x-3y+z&=&0\\
x+y-2z&=&1\\
x-y-z&=&-1\\
\end{Bmatrix}$

suddividi in due sistemi di due equazioni per effettuare la riduzione:

$\small \begin{Bmatrix}
2x-3y+z&=&0\\
x+y-2z&=&1\\
\end{Bmatrix}$ $\Longrightarrow \small \begin{Bmatrix}
4x-6y+2z&=&0\\
x+y-2z&=&1\\
\hline 5x-5y\;//&=&1\\
\end{Bmatrix}$ $\Longrightarrow \small \color{blue}{5x-5y=1}$

$\small \begin{Bmatrix}
2x-3y+z&=&0\\
x-y-z&=&-1\\
\hline3x-4y\;//&=&-1\\
\end{Bmatrix}$ $\Longrightarrow \small \color{blue}{3x-4y=-1}$

metti a sistema le due equazioni in blu e applica la sostituzione:

$\small \begin{Bmatrix}
5x-5y&=&1\\
3x-4y&=&-1\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
x-y&=&\dfrac{1}{5}\\
3x-4y&=&-1\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
x&=&\dfrac{1}{5}+y\\
3\left(\dfrac{1}{5}+y\right)-4y&=&-1\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
x&=&\dfrac{1}{5}+y\\
\dfrac{3}{5}+3y-4y&=&-1\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
x&=&\dfrac{1}{5}+y\\
-y&=&-1-\dfrac{3}{5}\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
x&=&\dfrac{1}{5}+y\\
y&=&1+\dfrac{3}{5}\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
x&=&\dfrac{1}{5}+y\\
y&=&\dfrac{5+3}{5}\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
x&=&\dfrac{1}{5}+y\\
y&=&\dfrac{8}{5}\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
x&=&\dfrac{1}{5}+\dfrac{8}{5}\\
y&=&\dfrac{8}{5}\\
\end{Bmatrix}$

$\small \begin{Bmatrix}
x&=&\dfrac{9}{5}\\
y&=&\dfrac{8}{5}\\
\end{Bmatrix}$

ora prendi una delle equazioni iniziali più semplice per calcolare la "z":

$\small x-y-z=-1$

sostituisci con i valori trovati:

$\small \dfrac{9}{5}-\dfrac{8}{5}-z=-1$

$\small \dfrac{1}{5}-z=-1$

$\small -z=-1-\dfrac{1}{5}$

$\small z=1+\dfrac{1}{5}$

$\small z=\dfrac{5+1}{5}$

$\small z=\dfrac{6}{5}$

risultati:

$\small x= \dfrac{9}{5};\; y= \dfrac{8}{5};\; z= \dfrac{6}{5}.$