[Risolto] Sistemi

Adotto un metodo misto riduzione e sostituzione.

Non faccio la scalatura delle matrici di Gauss ma mi lascio guidare dall'intuizione.

{ 2x + 3y + 2z - 3t = 12

{ x + y - z + 2t  = 0

{ 3x - y + 3z - 2t = 2

{ 4x + 2y + 2z - t = 8 

Addiziono la II e la III e sostituisco quello che viene alla III 

{ 2x + 3y + 2z - 3t = 12

{ x + y - z + 2t = 0

{ 2x + z = 1

{ 4x + 2y + 2z - t = 8 

Poi sostituisco z = 1 - 2x nella I, II e IV e riordino 

{ 2x + 3y + 2(1 - 2x) - 3t = 12

{ x + y - (1 - 2x) + 2t = 0

{ 4x + 2y + 2(1 - 2x) - t = 8 

{ z = 1 - 2x 

Le prime tre equazioni ora costituiscono un sistema 3x3. Riducendo 

{ - 2x + 3y - 3t = 10

{ 3x + y + 2t = 1

{ 2y - t = 6       

{ z = 1 - 2x 

A questo punto sostituisco t = 2y - 6 nelle prime due ottenendo un ulteriore disaccoppiamento 

{ - 2x + 3y - 3(2y - 6) = 10

{ 3x + y + 2(2y - 6) = 1

{ z = 1 - 2x

{ t = 2y - 6 

riducendo e riordinando 

{ - 2x - 3y = -8

{ 3x + 5y = 13

{ z = 1 - 2x 

{ t = 2y - 6 

Ora é il momento di vibrare il colpo finale. 

Per far sparire x si moltiplica la prima per 3 e la seconda per 2 e si somma 

-6x + 6x -9y + 10y = -24 + 26 

riducendo ancora si trae infine

y = 2 

per cui t = 2*2 - 6 = -2

3x + 5*2 = 13 => x = (13 - 10)/3 = 1

e z = 1 - 2*1 = -1

Così 

{ x = 1

{ y = 2

{ z = -1

{ t = -2

é la soluzione del sistema. 

"Graficamente" é una intersezione di iperpiani in uno spazio 4-dimensionale.