Sistema Lineare 3 equazioni 3 incognite 1 parametro

@edoardo_bonaccolta

Ciao.

Il sistema lineare in x ed y è alla forma normale. Il calcolo del determinante dei coefficienti del sistema fornisce:

(k - 1)·(-2)·1 + 2·(k - 3)^2·0 - 1 - (0·2 + (k - 3)·(k - 1) + 2·(k - 3)) = 4 - k^2

(regola di Sarrus per il calcolo di un determinante del 3° ordine)

Quindi ammette soluzione unica, cioè determinato se e solo se:

4 - k^2 ≠ 0------> k ≠ -2 ∧ k ≠ 2

Per k=-2 si ha:

{(-2 - 1)·x + 2·(-2 - 3)·y - z = 1

{x - 2·y + (-2 - 3)·z = 3 - -2

{y + z = -2 - 3

Ossia:

{3·x + 10·y + z = -1

{x - 2·y - 5·z = 5

{y + z = -5

In questo caso il sistema è impossibile in quanto i vettori dei coefficienti sono linearmente dipendenti:

[3, 10, 1]

[1, -2, -5]

[0, 1, 1]

Deducibile dalla combinazione lineare:

[0, 1, 1] = μ·[3, 10, 1] + ν·[1, -2, -5]

[0, 1, 1] = [3·μ + ν, 10·μ - 2·ν, μ - 5·ν]

{3·μ + ν = 0

{10·μ - 2·ν = 1

{μ - 5·ν = 1

valida per μ = 1/16 ∧ ν = - 3/16, ma non per i relativi termini noti.

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Per k=2 si ha invece un sistema indeterminato:

{x - 2·y - z = 1

{x - 2·y - z = 1 (si ripete!)

{y + z = -1

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Per k =4:

{3·x + 2·y - z = 1

{x - 2·y + z = -1

{y + z = 1

che risolto fornisce soluzione unica:

[x = 0 ∧ y = 2/3 ∧ z = 1/3]

Il calcolo lo lascio a te.

Il sistema
* ((k - 1)*x + 2*(k - 3)*y - z = 1) & (x - 2*y + (k - 3)*z = 3 - k) & (y + z = k - 3)
presenta solo pochi casi da esaminare singolarmente.
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Per k = - 2
* (- 3*x - 10*y - z = 1) & (x - 2*y - 5*z = 5) & (y + z = - 5) ≡
≡ (z = - (3*x + 10*y + 1)) & (x - 2*y + 5*(3*x + 10*y + 1) = 5) & (y - (3*x + 10*y + 1) = - 5) ≡
≡ (y = - x/3) & (- x/3 - (3*x + 10*(- x/3) + 1) = - 5) & (z = - (3*x + 10*(- x/3) + 1)) ≡
≡ (y = - x/3) & (- 1 = - 5) & (z = (x - 3)/3) ≡
≡ (y = - x/3) & (Falso) & (z = (x - 3)/3) ≡
≡ sistema incompatibile
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Per k = 1
* (- 4*y - z = 1) & (x - 2*y - 2*z = 2) & (y + z = - 2) ≡
≡ (x = - 2) & (y = 1/3) & (z = - 7/3) ≡
≡ sistema compatibile e determinato
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Per k = 2
* (x - 2*y - z = 1) & (x - 2*y - z = 1) & (y + z = - 1) ≡
≡ sistema compatibile, ma indeterminato
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Per k = 3
* (2*x - z = 1) & (x - 2*y = 0) & (y + z = 0) ≡
≡ (x = 2/5) & (y = 1/5) & (z = - 1/5) ≡
≡ sistema compatibile e determinato
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Nel caso generico
* ((k - 1)*x + 2*(k - 3)*y - z = 1) & (x - 2*y + (k - 3)*z = 3 - k) & (y + z = k - 3) & (k^2 != 4)
si ha
* (x = - 2*(k - 2)*(k - 4)/(k + 2)) & (y = (k - 2)^2/(k + 2)) & (z = (3*k - 10)/(k + 2))
che, per k = 4, dà
* (x = 0) & (y = 2/3) & (z = 1/3)