Sistema con equazioni esponenziali

@Beppe

Ciao Beppe, una possibile piccola modifica al testo della seconda equazione per ottenere le soluzioni indicate è:

625^(x) * 5^(x) /√125 = (1/5)^y

 

5^(4x)*5^(x)/(5*√5) = (1/5)^(y)

 

Con: x= 1/2 ; y = - 1

[5^(2)*√5] /[5*√5] = 5

25/5 = 5

5 = 5

 

Quindi: S={ 1/2 ; - 1}

 

Con: x=9/50 ; y=3/5

[5^(9/10)]/[5^(3/2)] = (1/5)^(3/5)

5^[(9/10) - (3/2)] = (1/5)^(3/5)

5^( - 3/5) = (1/5)^(3/5)

(1/5)^(3/5) = (1/5)^(3/5)

 

Quindi: S={ 9/50, 3/5} 

 

Buona giornata. 

Stefano 

 

 

 

@beppe

Ciao.

Le soluzioni verificano solo la prima equazione. Ciò significa che, molto probabilmente c'è un errore nel testo della seconda.

https://www.wolframalpha.com/input?i=%7B4%5E%28y%29%5E2+-+2%5E%284x%29+%3D+0++%2C+625%5Ex+*25%5Ex%2Fsqrt+125+%3D+%281%2F5%29%5E%28y%29%7D

Alla prima, scritta come
* f(x, y) = 4^(y^2) - 2^(4*x) = 0
soddisfanno sia A(1/2, - 1) che B(9/50, 3/5), in quanto
* f(1/2, - 1) = f(9/50, 3/5) = 0
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Alla seconda, scritta come
* g(x, y) = 625^x*25^x/√125 - (1/5)^y = 0
non soddisfà né A né B, in quanto
* g(1/2, - 1) = 5*(√5 - 1) ~= 6.18
* g(9/50, 3/5) = (5^(9/50) - 1)/5^(3/5) ~= 0.1279
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CACCIA AL REFUSO
Manca un sacco di roba.
I tre fattori del primo membro sono una potenza e due esponenziali di cinque
* √125 = 5*√5 = 5^(3/2)
* 25^x = 5^(2*x)
* 625^x = 5^(4*x) = 5^(2*(2*x)) = (5^(2*x))^2
combinati, nell'attuale versione errata, con operatori moltiplicativi
* 625^x*25^x/√125 = 5^((12*x - 3)/2)
a scambiarli si ha, secondo le precedenze,
* (625^x/25^x)*√125 = 5^((4*x + 3)/2): g(A) = 5*(5*√5 - 1); g(B) =
* 625^x/(25^x*√125) = 5^((4*x - 3)/2): g(A) = 1/√5 - 5; g(B) = 5^(- 57/50) - 5^(- 3/5)
BOH!
Deve mancare qualcosa di additivo da qualche parte.
Buona notte a voi.

SECONDA RISPOSTA
Abito in una casa che ha davanti alla porta un cippo di pietra nerognola e rovinata con inciso qualcosa che vuol dire "Restaurata nel 1792", ma che nel XVI secolo era "La Catena" (il corpo di guardia) del casino di caccia di uno dei d'Avalos (Alfonso?) cui Procida fu donata nel 1504 («Ferdinando V e Isabella I, Reali di Castiglia Leon e Aragona, donano a Rodrigo d’Avalos d’Aquino, figlio di Innico d’Avalos, Marchese del Vasto e Conte di Monteodorisio, i feudi dell’isola di Procida e del Casale di Sant’Antimo, già posseduti rispettivamente da Michele Cossa e Bernardo Stendardo e devoluti alla Regia Corte per l’appoggio prestato dai suddetti ai Francesi durante la guerra».) e il cui celebre Palazzo (ex carcere) sta in cima a Terra Murata.
Con i muri spessi 142 cm (CENTOQUARANTADUE centimetri) non c'è modo d'avere un po' di segnale all'interno di casa mia e, per avere campo, devo stare sul terrazzino: ieri quando gl'insetti sullo schermo del notebook hanno superato il limite di tollerabilità v'ho dato la buonanotte e sono rientrato a godermi Maria Teresa Mannino in TV, ma continuando a pensare a quest'assurdo esercizio.
Vi espongo la mia stupida pensata, per quanto possa valere.
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Assestata la forma dell'equazione in
* g(x, y) = 5^(a*x + b) - (1/5)^y = 0
ho pensato di forzare un po' la mano
* (5^(a/2 + b) = (1/5)^(- 1)) & (5^(9*a/50 + b) = (1/5)^(3/5)) ≡
≡ (a = 5) & (b = - 3/2)
e vedere quale potrebb'essere stato il refuso.
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Se 625^x*25^x/√125 = 5^((12*x - 3)/2) = 5^(6*x - 3/2)
e se invece occorre che il sei cali a cinque, si deve avere
* 5^(5*x - 3/2) = 625^x*5^x/√125
E CON CIO' SI RIESCE A COMPRENDERE CHE IL REFUSO ERRORE DI DITO FU, su un Copia/Incolla il cui edit è stato malauguratamente interrotto da una telefonata durata più di pochi secondi.
Io scrivo 625^x, poi *, poi copio 625^x per incollarlo e cancellare il sei e il due, lo incollo, cancello il sei, rispondo al primo squillo e parlo per un bel po'; quando concludo scrivo i risultati attesi e passo a comporre il prossimo esercizio.
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Vedi il grafico e il paragrafo "Real solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%284%5E%28y%5E2%29%3D2%5E%284*x%29%29%26%28625%5Ex*5%5Ex%2F%E2%88%9A125%3D%281%2F5%29%5Ey%29
QED

Con questa traccia sicuramente i risultati non sono corretti 

Certamente 2^(2y^2) = 2^4x

2y^2 = 4x

y^2 = 2x

5^(4x)*5^(2x)*5^(-3/2) = 5^(-y)

6x - 3/2 = -y

y = 3/2 - 6x

y = 3/2 - 3y^2

3y^2 + y - 3/2 = 0

y = (-1 +- rad(1+18))/6 = (-1 +- rad(19))/6

x = y^2/2

 

per cui risulta

y = 0.5598

x = 0.1567

oppure

y = -0.8931

x = 0.3989

 

Il modo di correggere l'enunciato in modo che le soluzioni siano quelle non é univoco

 

perché puoi porre  6x - 3/2 = -y + A + Bx 

ma anche modificare il coefficiente di y.