Trova due numeri $x$ e $y$ che soddisfano l'equazione $(x+y-17)^2+(3 x y-2 x-2 y-146)^2=0$
$[12; 5]$
Stando a quanto mi dice il manuale per trovare il valore di una variabile devo equivalere a zero l'altra. Ho provato con x=0 per trovare il valore di y, e anche con y=0 per trovare quello di x, ma niente da fare. Non mi sembra ci siano nemmeno particolari valori di somma o prodotto da interpretare. Potete cortesemente illuminarmi?
Thank you and nice time.
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Livello 1
Si tratta di una equazione del tipo
$a^2+b^2=0$
Nel campo reale, una somma di quadrati è sempre maggiore o uguale a zero ( si somma qualcosa di sempre positivo o nullo a un altro termine sempre positivo o nullo). In particolare risulta uguale a zero quando entrambi i termini sono pari a zero contemporaneamente.
Devi mettere a sistema $a^2=0 $$\to$$a=0$ con $b^2=0$$\to$$b=0$
{$x+y-17=0$
{$3xy-2x-2y-146=0$
Il risultato è costituito da due coppie di numeri (x,y)
$(5,12)$ e $(12,5)$ che equivale a prendere , indipendentemente dall'ordine, 5 e 12.
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Livello 5
@lorenzo_belometti grazie Lorenzo, chiaro e utile il tuo intervento.
Grazie a te
m^2+n^2 = 0
{m+n-17 = 0
{3mn-2m-2n-146 = 0
m = 17-n
3n(17-n)-2(17-n)-2n-146 = 0
51n-3n^2-34-2n-2n-146 = 0
3n^2-51n+180 = 0
n^2-17n+60 = 0
n = (17±√17^2-60*4 )/2 = (17±7)/2 = 5 ; 12
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Genius III
@remanzini_rinaldo grazie Rinaldo, abbastanza esplicativo...
Con (x, y) variabili reali la somma di quadrati di espressioni in x e y è zero se e solo se lo sono tutte le singole espressioni
* (x + y - 17)^2 + (3*x*y - 2*x - 2*y - 146)^2 = 0 ≡
≡ (x + y - 17 = 0) & (3*x*y - 2*x - 2*y - 146 = 0) ≡
≡ (y = 17 - x) & ((x - 2/3)*(y - 2/3) = 442/9)
Le intersezioni fra la retta e l'iperbole si calcolano per sostituzione; dalla risolvente le ascisse
* (x - 2/3)*(17 - x - 2/3) = 442/9 ≡
≡ (x - 2/3)*(17 - x - 2/3) - 442/9 = 0 ≡
≡ - (x - 5)*(x - 12) = 0 ≡
≡ (x = 5) oppure (x = 12)
e dalla retta le corrispondenti ordinate
* (y = 12) oppure (y = 5)
Vedi i paragrafi "Plot of solution set" e "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%28y%3D17-x%29%26%28%28x-2%2F3%29*%28y-2%2F3%29%3D442%2F9%29
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Genius I
@exprof il concetto è chiaro, anche per quanto su espresso da Lorenzo e Rinaldo: devo eguagliare a zero l'intera espressione... Saluti.
