[Risolto] Sistema

In generale, il trinomio quadratico monico
* T(x) = x^2 - s*x + p = (x - X1)*(x - X2),
con discriminante
* Δ = s^2 − 4*p
e zeri
* X1 = (s - √Δ)/2
* X2 = (s + √Δ)/2
ha gli zeri X1 e X2 tali che X1 + X2 = s (somma) e X1 * X2 = p (prodotto).
Se Δ >= 0 gli zeri sono reali e vale X1 <= X2.
L'equazione T(x) = 0 ha soluzioni X1 e X2 distinte se il discriminante Δ è non nullo:
* X1 e X2 complesse coniugate se Δ < 0
* reali se Δ > 0.
Quindi, se ci sono zeri reali, T(x) è positivo all'esterno degli zeri e negativo all'interno se sono distinti.
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Per risolvere l'esercizio proposto occorrono e bastano i seguenti passaggi.
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A) Dividere membro a membro per il coefficiente direttore.
* (2*sin^2(x) - sin(x) - 1 >= 0) & ((√3)*cot^2(x) - 3*cot(x) <= 0) ≡
≡ (sin^2(x) - sin(x)/2 - 1/2 >= 0) & (cot^2(x) - (√3)*cot(x) <= 0)
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B) Sostituire variabili ausiliarie e risolvere.
* (sin^2(x) - sin(x)/2 - 1/2 >= 0) & (cot^2(x) - (√3)*cot(x) <= 0) ≡
≡ (u^2 - u/2 - 1/2 >= 0) & (v^2 - (√3)*v <= 0) ≡
≡ ((u <= - 1/2) oppure (u >= 1)) & (0 <= v <= √3)
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C) Per |x| <= π/2, retrosostituire le funzioni originali e risolvere.
* ((u <= - 1/2) oppure (u >= 1)) & (0 <= v <= √3) ≡
≡ ((sin(x) <= - 1/2) oppure (sin(x) >= 1)) & (0 <= cot(x) <= √3) & (|x| <= π/2) ≡
≡ ((- π/2 <= x <= - π/6) oppure (x = π/2)) & ((π/6 <= x <= π/2) oppure (x = - π/2)) ≡
≡ (- π/2 <= x <= - π/6) & ((π/6 <= x <= π/2) oppure (x = - π/2)) oppure (x = π/2) & ((π/6 <= x <= π/2) oppure (x = - π/2)) ≡
≡ (- π/2 <= x <= - π/6) & (π/6 <= x <= π/2) oppure (- π/2 <= x <= - π/6) & (x = - π/2) oppure (x = π/2) & (π/6 <= x <= π/2) oppure (x = π/2) & (x = - π/2) ≡
≡ (insieme vuoto) oppure (x = - π/2) oppure (x = π/2) oppure (insieme vuoto) ≡
≡ x = ± π/2