Simmetria assiale

Problema:

Indica quali equazioni rappresentano rotazioni, traslazioni, simmetrie centrali o assiali, glissosimmetrie.

$\{x'=-x+1; y'=-y+3\}$.

Soluzione:

Puoi notare che ogni punto del piano viene prima mandato nel suo opposto rispetto l'origine per poi essere traslato si un vettore $(1,3)$.

Quindi questa è una riflessione centrale di centro $M$ dato che la trasformazione può avvenire con una singola rotazione di $180^\circ$.

Il centro di tale trasformazione è individuabile mediante il punto medio tra $(0,0)$ e $(1,3)$.

Il punto medio è $M(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.

Si può provare a vedere ciò osservando delle coniche, ad esempio:

i. Circonferenza: $x²+y²=4$ viene mandata in $(1-x)²+(3-y)²=4$.

ii. Ellisse: $3x²+2y²=4$ viene mandata in $3(1-x)²+2(3-y)²=4$.

iii. Parabola: $y=2x²$ viene mandata in $3-y=2(1-x)^2$.

In caso volessi approfondire, puoi rappresentare la trasformazione come una affinità costituita da parte lineare (matrice 2x2, prime due righe e prime due colonne) e traslazione di un vettore a due componenti (prime due righe e ultima colonna). Ciò si rappresenta mediante matrice in coordinate omogenee del piano come segue:

$\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 1\\
0 & -1 & 3\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$

La parte lineare è
$A=\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$

Nota che la matrice di rotazione è $A=\begin{pmatrix} \cos \theta &  -\sin \theta \\  \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$, quindi si deduce che $\theta = \pi$.

Il vettore di traslazione è

${t}=\begin{pmatrix}1 \\ 3\end{pmatrix}$

${x} \mapsto -{x} + {t}$.

Viene fissato solo un punto (il punto M), ossia il centro, infatti detta $f$ l'affinità, i punti fissi sono dati da $f(x, y)=(x, y)$, ossia da $(-x+1, -y+3)=(x, y)$ quindi $(x, y)=(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.