Sfera in equilibrio su piano scabro

TAN(φ°) = r/L = 15/56----> TAN(φ°) = 0.2678571428

φ° = 15° (circa)

2·φ° + 30° = 60°

{equilibrio alla traslazione verticale della sfera

{equilibrio alla traslazione orizzontale della sfera

Quindi:

{Τ·COS(60°) + Τ·COS(30°) + R·SIN(30°) = V

{Τ·SIN(60°) + Τ·SIN(30°) - R·COS(30°) = 0

quindi risolvo: ( T=39N)

{R = 2·V - 39·√3 - 39

{R = 13·√3 + 39

Risolvo ed ottengo: [R= (13·√3 + 39) N ∧ V = (26·√3 + 39) N]

quindi:

[R= 61.52 N  ∧ V= 84.03 N]

Devi considerare le due condizioni di equilibrio. 

• Equilibrio statico:

$$ \vec{F}_p + \vec{T} + \vec{f} = 0. $$

Chiaramente $\vec{T}$ è la tensione e $\vec{f}$ è l'attrito.

Dalla scomposizione delle forze (non banale secondo me, metto in fondo la dimostrazione più rigorosa che $T$ parallela vale $T \sin 60$).

lungo la componente parallela al piano si ottiene

$$ F_p \sin\alpha - T\sin\alpha - f = 0$$

• Equilibrio rotazionale:

Per calcolarlo devi scegliere un polo. La scelta è completamente libera, ma il punto che ha più senso è il centro della sfera, perché da lì passa l'asse di rotazione e perché essendo una sfera è il centro di massa (cioè il punto in cui è applicato il vettore forza peso). Per ogni forza calcoli il momento. In generale, vale che

$$ \vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}.$$

$\vec{r}$ è il vettore che congiunge il polo che hai scelto con il punto di applicazione della forza che stai considerando. 

Per calcolare il modulo del momento delle diverse forze serve conoscere l'angolo fra il polo e il punto di applicazione ($M = r F \sin\theta$).

1. Per la tensione della corda sono perpendicolari, quindi $M_T = rT$. La tensione è applicata in alto, quindi tenderà a ruotare la sfera in senso antiorario;
2. Per la forza di attrito sono ancora perpendicolari, quindi $M_f = rf$. L'attrito è applicato nel punto di contatto fra sfera e piano, quindi farà ruotare la sfera in senso orario;
3. La forza peso è applicata esattamente al centro e dunque ha momento nullo rispetto al polo che hai scelto, che è un altro motivo per cui hai scelto quel polo.

Tenendo conto dei sensi di rotazione, si ottiene

$$ M_T - M_f = 0$$

$$rT - rf = 0 \implies T = f.$$

Sostituisco questa relazione nella condizione di equilibrio statico

$$F_p \sin\alpha - T\sin\alpha - f = 0$$

$$F_p\sin\alpha - T(1 + \sin\alpha) = 0$$

$$F_p = T \frac{1 + \sin\alpha}{\sin\alpha} = 39N \frac{1 + \sin 60}{\sin 60} =  84N$$