[Risolto] serie di potenza

Ciao!

Innanzi tutto ripartiamo dalla serie: $ f(z)= \sum_{n=1}^\infty \frac{5}{n5^{n-2}}(z-3)^n $

Come hai detto di aver già fatto, il raggio di convergenza è $ R=5 $ e l'intervallo di convergenza puntuale è: $ [-2,8) $.

Passiamo, quindi, alla derivata.

Passaggio preliminare è "aggiustare le cose". Innanzi tutto, rendiamo più bella la serie. Con un paio di semplici passaggi algebrici (portando fuori il 5 e sistemando l'esponente del denominatore), si ottiene: 

$ f(z)= 125\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n5^{n}}(z-3)^n $

Ora, per poter applicare il teorema di derivazione per serie, vanno verificate le ipotesi; abbiamo già ottenuto che la serie converge puntualmente su un intervallo, adesso dobbiamo verificare che converga uniformemente su ogni sottointervallo aperto dell'intervallo di partenza. (In ogni sottointervallo di $ [-2,8) $).

Deriviamo, quindi, l'argomento della serie (di cui fa parte anche il coefficiente esterno), ottenendo:

$ f'(z)=125\frac{(z-3)^{n-1}}{5^{n}} $ 

Per verificare se la serie $ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{5^n}(z-3)^{n-1} $ converge uniformemente dove abbiamo detto, basta notare che per qualsiasi valore di z in quell'intervallo (che ricordo essere aperto), la serie diventa una serie geometrica (infatti $ \frac{1}{5^n}(z-3)^{n-1} = \frac{1}{5}(\frac{z-3}{5})^{n-1} $ ).

Per trovarne la somma, che è quel che ci interessa, dobbiamo svolgere un paio di passaggi algebrici. Avendo verificato che la serie converge in quanto geometrica, possiamo applicare il teorema di derivazione per serie, e scrivere:

$ f'(z)= 125\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{5}(\frac{z-3}{5})^{n-1} $

Riportando a 1 l'estremo inferiore: 

$ f'(z)= 25\sum_{n=1}^\infty (\frac{z-3}{5})^{n} $

Ora, per applicare la formula della serie geometrica, l'estremo inferiore deve essere 0:

$ f'(z)= 5(z-3) \sum_{n=0}^\infty (\frac{z-3}{5})^{n} $

Applicando la formula per la somma di una serie geometrica:

$ f'(z)=5(z-3) \frac{1}{1-\frac{z-3}{5}}= 25\frac{z-3}{8-z} $

Sostituendo $ z=\frac{11}{2} $

Otteniamo

$ f'(\frac{11}{2})=25 $.

L'ho fatto un po' di corsa, vedi se ti torna il risultato...