Secondo criterio di congruenza

a. consideriamo i triangoli EAC e BAD:

AB=AC per ipotesi

gli angoli ABF=ACE per ipotesi

gli angoli CAE=BAD perché coincidono 

i triangoli BAD=EAC per il secondo criterio di congruenza 

quindi, EA=AD perché sono lati opposti di angoli congruenti 

b. BA=EA+EB perché è la somma del segmento 

CA=DA+CD perché è la somma dei segmento 

BE=AB-EA perché differenza del segmento BE

CD=CA-AD perché differenza del segmento CD

EA=AD perché già dimostrato 

AB=AC  per ipotesi

BE=CD perché congruenti alle differenze di segmenti congruenti 

consideriamo i triangoli BFE e FCD:

BF=CF per ipotesi

gli angoli EBF=FCD per ipotesi

BE=CD perché già dimostrato 

i triangoli BFE=FCD per il primo criterio 

EF=FD perché lati opposti ad angoli congruenti 

consideriamo i triangoli EAF e FDA:

EA=AD perché già dimostrato 

AF in comune

EF=FD perché già dimostrato 

i triangoli EAF=FDA per il terzo criterio (tutti i lati sono congruenti) 

EFA=AFD perché angoli opposti a lati congruenti di triangoli congruenti 

io ho utilizzato la dimostrazione per assurdo solo nella teoria,  non ho mai fatto un problema di pratica per assurdo 

i triangoli BEF e CDF sono  uguali per aver uguali due lati e l'angolo compreso, col che EF = DF 

AE = AD perché entrambi differenza di due quantità uguali , essendo AB = AC e BE = CD ; ne consegue che i due triangoli  AEF ed ADF sono uguali per aver due lati uguali ed il terzo in comune (in aggiunta lo sono specularmente grazie al lato AF in comune), col che hanno anche i tre angoli uguali, ed in particolare eFa = dFa .