[Risolto] Scomposizioni

Per il Teorema di Ruffini un polinomio p(x) che s'azzeri per x = r è multiplo del binomio "(x - r)".
------------------------------
Il polinomio
* p(y) = y^3 - 5*y^2 - 4*y + 20 = y*(y*(y - 5) - 4) + 20
è monico; quindi, se ha zeri razionali, li ha tutti e soli fra i divisori interi del termine noto
* D(20) = {d} = {- 20, - 10, - 5, - 4, - 2, - 1, 1, 2, 4, 5, 10, 20}
---------------
Le dodici valutazioni
* {d, p(d)} in {{- 20, - 9900}, {- 10, - 1440}, {- 5, - 210}, {- 4, - 108}, {- 2, 0}, {- 1, 18}, {1, 12}, {2, 0}, {4, - 12}, {5, 0}, {10, 480}, {20, 5940}}
mostrano i tre zeri
* {..., {- 2, 0}, ..., {2, 0}, ..., {5, 0}, ...}
che danno l'intera scomposizione del polinomio di grado tre
* p(y) = y^3 - 5*y^2 - 4*y + 20 = (y + 2)*(y - 2)*(y - 5)
---------------
CONTROPROVA nel paragrafo "Result" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=expand%28y%2B2%29*%28y-2%29*%28y-5%29

La regola di Ruffini dice che le radici vanno cercate fra i divisori del termine noto, ovvero di 20. Quindi hai 1,-1, 2, -2, 4, -4, 5,-5,10,-10,20,-20.

Con un pochino di malizia ed esperienza si trova dopo poco che 5 è radice:

$5^3-5*5^2-4*5+20=0$

quindi il polinomio è divisibile per $y-5$

Eseguendo la divisione si trova:

$y^3-5y^2-4y+20=(y-5)(y^2-4)=(y-5)(y+2)(y-2)$