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[Risolto] Scomposizione polinomio

  

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Ciao a tutti, come si scompone questo polinomio?

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Ho provato con Ruffini ma nessun divisore di +4 è una radice razionale. (A meno che io non abbia sbagliato i calcoli ?)

Grazie in anticipo per l'aiuto!

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3 Risposte
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Avendo un unico minimo che è positivo
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3Dx%5E4-x%5E3%2B3*x%5E2%2B2*x%2B4%5Dx%3D-4to4%2Cy%3D-1to66
il polinomio
* p(x) = x^4 - x^3 + 3*x^2 + 2*x + 4 =
= (x - (- 1 - i*√3)/2)*(x - (- 1 + i*√3)/2)*(x - (- 1 - i*√3))*(x - (- 1 + i*√3))
non può avere zeri reali né, di conseguenza, scomposizione canonica in fattori reali di grado inferiore a due.
Tuttavia, avendo coefficienti tutti reali, può avere una scomposizione in fattori reali di grado inferiore a tre, ma non canonica e magari anche con coefficienti irrazionali.
Dai prodotti
* (x - (- 1 - i*√3)/2)*(x - (- 1 + i*√3)/2) = x^2 + x + 1
* (x - (- 1 - i*√3))*(x - (- 1 + i*√3)) = x^2 + 2 x + 4
si ha
* p(x) = x^4 - x^3 + 3*x^2 + 2*x + 4 = (x^2 - 2*x + 4)*(x^2 + x + 1)
------------------------------
NOTE AGGIUNTIVE
1) Gli zeri complessi si calcolano coi terribili radicali di Ferrari-Cardano (meglio, li si fa calcolare da WolframAlpha!).
2) Gli esercizi su MCD/mcm NON SI FANNO CON LE SCOMPOSIZIONI (salvo che in quarta e quinta elementare), ma con l'algoritmo di Euclide (già dalla prima media) col quale basta saper ottenere quoziente e resto da dividendo e divisore dati.

@exprof ma non c'è un metodo più semplice?

 




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Non le trovi perché non ci sono! ? 

Infatti (non so se l'hai già fatto, ma comunque te lo spiego) si può fare la derivata prima per cercare i punti stazionari.

L'unico punto stazionario che si trova è $x = 0$, che è un minimo, e ha valore $y = 4$.
Di conseguenza il punto "più basso" della funzione è $(0;4)$, e non può scendere più di così.

Di conseguenza non può incontrare mai l'asse $x$, da cui non ha zeri.

 

@pazzouomo però se scrivo questo polinomio su Wolfram Alpha mi dà questo risultato:

Cattura

come posso arrivarci? ? 

Sfortunatamente non riesco a scomporlo manco io! motivo per cui ho usato la tecnica del minimo. Una volta scomposto come Wolfram ti dice, puoi mostrare che i due fattori sono irriducibili (semplicemente mostrando che hanno $\Delta < 0$.

@pazzouomo grazie mille per la risposta. (Dovrei utilizzare i commenti o scrivere una risposta giù per rispondere?)

Ahimè stavo facendo un esercizio su mcm e MCD fra polinomi e per questo mi serviva capire come arrivare alla scomposizione! I primi due li ho scomposti, mi mancava il terzo.

Cattura

 

 

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@exProf , l'esercizio è preso da un libro del biennio, la soluzione mi sembra fin troppo complessa per quest'ultimo. Grazie per l'aiuto 🙂

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