[Risolto] Scomposizione polinomi

Prima di passare alla scomposizione dei seguenti polinomi, cominciamo ad osservare una notevole proprietà che caratterizza i polinomi di grado $2$ o $3$ a coefficienti in un campo. Dunque enunciamo la seguente proposizione ,senza dimostrazione, e cerchiamo di capire quali collegamenti sussistono con la scomposizione di un polinomio.

$\large{ Proposizione }$ 

$Sia$ $K$ $un$ $campo$ $e$ $f$ $un$ $polinomio$ $non$ $nullo$ $in$ $K_{[x]}$ $di$ $grado$ $2$ $o$ $3$. $Allora$ $f$ $è$ $irriducibile$ $se$ $e$ $solo$ $se$ $è$ $privo$ $di$ $radici$.

Quindi la nostra scomposizione si riduce ad una semplice ricerca di una effettiva radice, la quale se esiste, annulla il nostro polinomio. Dunque supponiamo di voler fattorizzare un polinomio( in un fissato anello di polinomi ) in prodotto di polinomi irriducibili. Per farlo abbiamo bisogno :

$\bigl($ $a$ $\bigr)$ Di saper trovare divisori non banali del polinomio dato, se esistono;

$\bigl($ $b$ $\bigr)$ Di saper riconoscere quali tra questi divisori sono irriducibili;

Usando la proposizione enunciata prima, possiamo dire che i polinomi di grado $2$ o $3$ sono irriducibili se sono privi di radici, o in modo equivalente, sono riducibili(quindi hanno dei divisori) se ammettono almeno una radice.

Fatte queste premesse, concentriamoci sul nostro esercizio. Sappiamo che i nostri polinomi rispettano solo la prima parte delle ipotesi del nostro enunciato ma non sappiamo ancora se sono o meno scomponibili. Quindi non ci resta che vedere se ammettono almeno una radice. Come è noto, un polinomio $ax^{2}$ $+$ $bx$ $+$ $c$ $\in$ $R_{[x]}$ di grado $2$ ha radici in $R$ se e solo se $b^{2}$ $-$ $4ac$ $\geq$ $0$. Verifichiamo :

 

$\large{ Primo }$ $\large{ Polinomio }$

$\large{ \Delta }$   $=$   $b^{2}$  $-$   $4ac$   $=$   $36$   $-$   $4$   $\cdot$   $\Bigl($ $2$ $\Bigr)$ $\cdot$ $\Bigl($  $-$$\displaystyle\frac{7}{2}$ $\space$ $\Bigr)$   $=$   $36$   $+$   $28$   $=$   $64$

Poiché $\large{ \Delta }$ $\geq$ $0$ possiamo concludere che il nostro polinomio è riducibile e di conseguenza è possibile scomporlo.

Dalla formula risolutiva otteniamo le seguenti soluzioni $x_{1}$ $=$ $\displaystyle\frac{7}{2}$ e  $x_{2}$ $=$ $-$$\displaystyle\frac{1}{2}$.

Dunque sappiamo di per certo che i polinomi $\Bigl($ $x$ $-$ $\displaystyle\frac{7}{2}$ $\Bigr)$ e $\Bigl($ $x$ $+$ $\displaystyle\frac{1}{2}$ $\Bigr)$ dividono il polinomio iniziale.Dunque possiamo scrivere il polinomio in prodotto di irriducibili sapendo che la $x$ è contata $2$ volte. Quindi avremo :

$\Bigl($ $2x$ $-$ $7$ $\Bigr)$ $\cdot$ $\Bigl($ $2x$ $+$ $1$ $\Bigr)$   $=$    $\Bigl($ $2$ $\Bigr)$ $\cdot$ $\Bigl($ $x$ $-$ $\displaystyle\frac{7}{2}$ $\Bigr)$ $\cdot$ $\Bigl($ $x$ $+$  $\displaystyle\frac{1}{2}$ $\Bigr)$

 

$\large{ Secondo }$ $\large{ Polinomio }$

Si procede in modo analogo anche per il secondo polinomio :

$\large{ \Delta }$   $=$    $b^{2}$   $-$   $4ac$   $=$   $64$   $-$   $60$   $=$   $4$.

Poiché $\large{ \Delta }$ $\geq$ $0$ possiamo concludere che il nostro polinomio è riducibile e di conseguenza è possibile scomporlo. Dalla formula risolutiva otteniamo le seguenti soluzioni $x_{1}$ $=$ $\displaystyle\frac{3}{2}$ e $x_{2}$ $=$ $\displaystyle\frac{5}{2}$.

$\Bigl($ $2x$ $-$ $5$ $\Bigr)$ $\cdot$ $\Bigl($ $2x$ $-$ $3$ $\Bigr)$ $=$ $\Bigl($ $2$ $\Bigr)$ $\cdot$ $\Bigl($ $x$ $-$ $\displaystyle\frac{5}{2}$ $\Bigr)$ $\cdot$ $\Bigl($ $x$ $-$  $\displaystyle\frac{3}{2}$ $\Bigr)$

 

Ciao!

1) $2x^2-6x-\frac{7}{2}$

Mettiamo in evidenza $\frac{1}{2}$ e si ha

$\frac{1}{2}(4x^2-12x-7)$

Scomponendo con la formula risolutiva di un’equazione risolutiva di 2° si ha:

$\frac{1}{2}(2x+1)(2x-7)$

2)$2x^2-8x+\frac{15}{2}$

Mettiamo in evidenza $\frac{1}{2}$ e si ha

$\frac{1}{2}(4x^2-16x+15)$

Risolvendo con la formula risolutiva di un’equazione di 2°:

$\frac{1}{2}(2x-3)(2x-5)$

In generale, la formula risolutiva è: