Scomposizione di polinomi

Mi spiace che tu dica "purtroppo non riesco a capire come si fanno" e voglio offrirti un pizzico di consolazione in più rispetto @LucianoP e i suoi avvisi ("richiede allenamento", "fare esercizi", "non è possibile farlo meccanicamente") che, peraltro, sottoscrivo senza riserve.
Dal momento che allenarsi facendo esercizi richiede un programma d'allenamento (e il saper scegliere quale criterio applicare è proprio quel colpo d'occhio che, essendo l'obiettivo da raggiungere, non si può usare per allenarsi a raggiungerlo!) ti suggerisco di scrivertelo da te, quel programma: prendi un taccuino (o le Note dello smartphone), scorri quaderni e libri, e annota tutti i criteri che ci trovi e/o che hai usato e/o VISTO USARE; poi tienilo aggiornato!
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A proposito di questo polinomio
* p(x) = x^4 + 3*x^3 - 8*x - 24
là dove l'occhio esperto di Luciano ha visto emergere il fattore (x + 3), ed ha fatto le mosse opportune per estrarlo, l'occhio inesperto del principiante vede un panorama piatto che gli rammenta solo fatti relativi ad alcune proprietà generali e alle loro implicazioni.
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1) Monico: non ha il fattore di grado zero ma solo binomi e trinomi monici di forma (x - r)^m o (x^2 - s*x + p)^n
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2) Coefficienti tutti reali: se ha zeri non reali li ha in coppie coniugate, quindi con fattori "x^2 - s*x + p" a discriminante negativo (Δ = s^2 − 4*p < 0).
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3) Termine noto razionale: se ci sono radici razionali esse sono tutte divisori interi del termine noto "- 24"; quindi se un divisore intero "r" di "- 24" azzera p(x) si ha un calo di grado con la scomposizione
* p(x) = (x - r)*q(x)
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4) Di grado pari: se non ha zeri reali si scompone solo in
* p(x) = (x^2 - S*x + P)*(x^2 - s*x + p)
ma se ne ha deve averne o due o quattro
* p(x) = (x - r1)*(x - r2)*(x^2 - s*x + p)
oppure
* p(x) = (x - r1)*(x - r2)*(x - r3)*(x - r4)
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Già su queste poche osservazioni generali si può impiantare un pretrattamento semplificatore prima di dover ricorrere al foglio col "programma d'allenamento".
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a) Porre p(x) nella forma che minimizza le moltiplicazioni per valutazione (3 e non 6).
* p(x) = ((x + 3)*x*x - 8)*x - 24
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b) Elencare i divisori interi di "- 24".
* {± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ± 12, ± 24}
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c) Valutare p(x) in ascisse plausibili alla ricerca di zeri o almeno inversioni.
* p(- 1) = - 18
* p(1) = - 28
* p(- 2) = - 16
* p(2) = 0 <=== centro!
Si divide per (x - 2) e si itera, dal passo a, sul quoziente q(x) ancora di grado tre.
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c1) p(x) = x^4 + 3*x^3 - 8*x - 24 = (x - 2)*(x^3 + 5*x^2 + 10*x + 12)
* q(x) = ((x + 5)*x + 10)*x + 12
* divisori di 12 da provare: {2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12}
* q(2) = 60
* q(- 3) = 0 <=== centro!
Si divide per (x + 3) e si itera, dal passo a, sul quoziente Q(x); però avendo, Q(x) grado due, ci si può semplificare l'iter applicando la solita procedura di Bramegupta.
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c2) q(x) = x^3 + 5*x^2 + 10*x + 12 = (x + 3)*(x^2 + 2*x + 4)
* Q(x) = (x + 2)*x + 4
ma anche
* Δ = (- 2)^2 − 4*4 = - 12 < 0
che, indicando l'assenza di ulteriori zeri reali, pone termine al processo.
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d) La scomposizione in soli fattori reali risulta
* p(x) = x^4 + 3*x^3 - 8*x - 24 =
= (x - 2)*(x^3 + 5*x^2 + 10*x + 12) =
= (x - 2)*(x + 3)*(x^2 + 2*x + 4)

 

x^4 + 3·x^3 - 8·x - 24 =

=(x - 2)·(x + 3)·(x^2 + 2·x + 4)

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(x^4 + 3·x^3) - (8·x + 24) = raccoglimento a fattori parziali=

=x^3·(x + 3) - 8·(x + 3) =

=(x+3)(x^3-8)= (2° fattore differenza di 2 cubi)=

 = (x + 3)·((x - 2)·(x^2 + 2·x + 4)) cioè quanto detto sopra.

x^4 + 3x^3 - 8x - 24 .

Quando hai 4 monomi come qui, cerca di vederli a due a due e raccogli quello che hanno in comune:

x^4 + 3 x^3 hanno in comune x^3, quindi diventa:

x^3 * (x + 3).

- 8x - 24 hanno in comune - 8 perché - 24 si divide per - 8:

- 8 * (x + 3);

allora  il polinomio diventa:

x^3 * (x + 3) - 8 * (x + 3);

ora vedi che si può raccogliere (x + 3):

(x + 3) * (x^3 - 8);

si può scomporre ancora perché 8 = 2^3;

(x^3 - 8) = x^3 - 2^3 = differenza di cubi.

Sai scomporre questo binomio?

a^3 - b^3 = (a - b) * (a^2 + ab + b^2).

x^3 - 2^3 = (x - 2) * (x^2 + 2 x + 4).

 

 

x^4 + 3x^3 - 8x - 24  = (x + 3) * (x^3 - 2^3);

Il nostro polinomio diventa:

(x + 3) * (x^3 - 2^3) =

= (x + 3) * (x - 2) * (x^2 + 2 x + 4).

Ciao @roberta3

x^4 + 3x^3 - 8x - 24 .

Quando hai 4 monomi come qui, cerca di vederli a due a due e raccogli quello che hanno in comune:

x^4 + 3 x^3 hanno in comune x^3, quindi diventa:

x^3 * (x + 3).

- 8x - 24 hanno in comune - 8 perché - 24 si divide per - 8:

- 8 * (x + 3);

allora  il polinomio diventa:

x^3 * (x + 3) - 8 * (x + 3);

ora vedi che si può raccogliere (x + 3):

(x + 3) * (x^3 - 8);

si può scomporre ancora perché 8 = 2^3;

(x^3 - 8) = x^3 - 2^3 = differenza di cubi.

Sai scomporre questo binomio?

a^3 - b^3 = (a - b) * (a^2 + ab + b^2).

x^3 - 2^3 = (x - 2) * (x^2 + 2 x + 4).

 

 

x^4 + 3x^3 - 8x - 24  = (x + 3) * (x^3 - 2^3);

Il nostro polinomio diventa:

(x + 3) * (x^3 - 2^3) =

= (x + 3) * (x - 2) * (x^2 + 2 x + 4).

Ciao @roberta3