[Risolto] Scomposizione di polinomi

La scomposizione in fattori reali dei polinomi reali segue due sole regole (A, B).
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A) Ogni polinomio a coefficienti reali è decomponibile in un prodotto di altri polinomi a coefficienti reali, più semplici, di grado non superiore a due.
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B) Nella scomposizione di un polinomio in x a coefficienti reali:
B0) C'è un solo fattore di grado zero, costante (il coefficiente direttore "a"); ovviamente un polinomio mònico non ce l'ha (a = + 1).
B1) C'è un fattore della forma (x - r)^k per ogni zero reale "r" di molteplicità k [cioè (x - r) se "r" è semplice].
B2) C'è un fattore della forma (x^2 - s*z + p)^k per ogni coppia di zeri complessi coniugati (a ± i*b) di molteplicità k [cioè (x^2 - s*z + p) se la coppia è semplice].
B3) Non ci sono fattori di altre forme.
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La prima mossa da fare è mettere in evidenza il coefficiente direttore in modo da limitare il seguito ai soli polinomi monici.
a1) - x^3 + 4*x^2 + x - 6 = - 1*(x^3 - 4*x^2 - x + 6)
a2) 2*x^2 + 2*x - 12 = 2*(x^2 + x - 6)
a3) x^3 - 7*x + 6 [è già monico]
b1) + x^3 + 4*x^2 + x - 6 [è già monico]
b2) 2*x^2 + 2*x - 12 [≡ a2]
b3) x^3 - 7*x + 6 [≡ a3]
b4) x^3 + x^2 + x + 1 [è già monico]
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RESTANO DA SCOMPORRE
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DI GRADO DUE
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Procedura di Bramegupta: completare il quadrato e applicare il prodotto notevole "differenza di quadrati".
Se si ha una somma di quadrati invece della differenza di quadrati allora non ci sono zeri reali.
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a2) x^2 + x - 6 = (x + 1/2)^2 - 1/4 - 6 =
= (x + 1/2)^2 - (5/2)^2 =
= (x + 1/2 + 5/2)*(x + 1/2 - 5/2) =
= (x + 3)*(x - 2)
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DI GRADO TRE
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Procedura di Tartaglia, Del Ferro, Cardano: da evitare ad ogni costo, a meno che non sia esplicitamente prescritta una soluzione simbolica.
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Abbassamento di grado: se il termine noto TN di un polinomio p(x) è un intero e se p(x) ha zeri razionali, questi possono solo essere divisori di TN in {d}.
Se p(d) = 0 allora
* q(x) = p(x)/(x - d)
è di grado due e si scompone con la procedura di Bramegupta (o resta così se non ha zeri reali).
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Se non ci sono zeri razionali, e non è esplicitamente prescritta una soluzione simbolica, allora si approssima numericamente lo zero reale "r" e si ottiene
* q(x) ~= p(x)/(x - r)
di grado due e con coefficienti approssimati.
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b1) x^3 + 4*x^2 + x - 6 = (x + 3)+(x + 2)*(x - 1) [{d} = {± 1, ± 2, ± 3}]
b4) x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)*(x^2 + 1) [{d} = {± 1}]
a3) x^3 - 7*x + 6 = (x + 3)*(x - 1)*(x - 2) [{d} = {± 1, ± 2, ± 3}]
a1) x^3 - 4*x^2 - x + 6 ~= (x + 1.18)*(x - 1.32)*(x - 3.86) [{d} = {± 1, ± 2, ± 3}]

In ordine la scaletta per la scomposizione dei polinomi è :

Raccoglimento totale 

Raccoglimento parziale 

Prodotti notevoli

Trinomio speciale

Ruffini

Cominciane uno e vediamo