[Risolto] sapete dirmi che rapporto c'è tra max e min e teoremi delle derivate

Il teorema di Fermat afferma che se una funzione continua presenta un massimo o un minimo, allora per forza in quel punto avremo derivata nulla. 

Questo è logico da capire perchè se una funzione ha derivata positiva vuol dire che è crescente, mentre se ce l'ha negativa allora è decrescente: risulta logico capire che una funzione raggiunge un massimo/minimo quando non può più salire/scendere, ovvero quando la derivata non è nè negativa nè postiva, cioè quando è nulla.

Il teorema di Rolle dice invece che se una funzione è continua, derivabile e viene studiata in un intervallo ha gli estremi con la stessa y, allora dentro questo intervallo esiste per forza un punto con derivata nulla.

Per capirlo basta immaginare il caso limite: se siamo davvero sfortunati possiamo pensare che nel nostro intervallo la funzione abbia tutta la stessa y e sia quindi una retta orizzontale; in questo caso la retta non avrebbe massimi o minimi perchè tutti i punti sono alla stessa altezza.

se però immaginiamo di avere una funzione curva, questa per forza dovrà formare un gobba in qualche punto dell'intervallo perchè altrimenti la y degli estremi non potrà essere uguale. Proprio in cima a questa a gobba troviamo il punto stazionario, dove la tangente è nulla perchè la funzione ha finito di salire (per esempio) e si prepara a scendere.

Il teorema di Lagrange deriva proprio da quello di Rolle: dice infatti che presa un funzione continua e derivabile (sempre considerando un intervallo), per forza all'interno dell'intervallo esisterà un punto ha derivata pari all'inclinazione della retta che unisce gli estremi di questo intervallo.

Può sembrare complesso ma non lo è: il teorema di Rolle considerava un intervallo con gli estremi aventi la stessa y, quindi la retta che unisce i due estremi è orizzontale e quindi con inclinazione pari a zero; sempre Rolle ci dice che in un caso simile siamo certi di trovare un punto con tangente nulla (quindi con la tangente che vale quanto l'inclinazione della retta che unisce i due estremi). Ciò che fa Lagrange è una generalizzazione di questo teorema perchè dice che non vale solo quando i due estremi hanno la stessa y, ma vale sempre (ovviamente con inclinazioni diverse)! 

Il teorema di Cauchy è invece più articolato quindi cercherò di essere molto chiaro: prima di tutto dobbiamo considerare due funzione (prese nello stesso intervallo) che siano continue e derivabili. Siccome stiamo considerando lo stesso intervallo, la lunghezza orizzontale delle due funzioni sarà identica (per esempio, se l'intervallo è [3;5] allora la lunghezza orizzontale sarà 5-3=2).

Usando un po' di formule sulle rette, sappiamo che la lunghezza orizzontale di una retta si calcola facendo il rapporto tra la lunghezza verticale (che sarà la differenza tra le y) e l'inclinazione della retta (che sarà la derivata di un punto, come dice Lagrange).

siccome i due rapporti abbiamo visto che sono uguali, possiamo scriverli in proporzione ed otteniamo il teorema di Cauchy che afferma: il rapporto tra le differenze delle y delle due funzioni è uguale al rapporto tra le derivate dei punti trovati con Lagrange.

Ovviamente ho messo da parte il rigore matematico per cercare di spiegare il concetto, spero di essere stato chiaro! 

per quanto riguarda un collegamento con lo studio di funzione in realtà ti direi che l'unico che si usa (in parte) è Lagrange. Infatti il suo teorema ci spiega proprio perchè una funzione è crescente/decrescente in base al segno della sua derivata